dimostrazione sulla cardinalità: quale è lo sbaglio?

[LelleL]

I miei saluti, poco tempo fa ho ricevuto come compito per casa quello di dimostrare che la cardinalità dell'insieme aperto $(0,1)$ è uguale a quella dell'intervallo chiuso $[0,1]$.
io ho proceduto nel seguente modo:
considero una successione infinitesima $\epsilon_n$ e l'intervallo chiuso $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ incapsulato in $(0,1)$.
Posso mettere in corrispondenza biunivoca $[0,1]$ con l'intervallo chiuso suddetto tramite l'equazione di una retta e ciò lo posso fare per ogni $\epsilon_n$ con $\lim_{n \to \infty}\epsilon_n$. Dato che posso trovare una corrispondenza biunivoca per ogni $\epsilon_n$ tra gli intervalli chiudi $[0+\epsilon_n , 1- \epsilon_n]$ e $[0,1]$ e che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ per n che tende a infinito corrisponde a
$(0,1)$ allora posso dire che $(0,1)$ e $[0,1]$ hanno la stessa cardinalità.
Il professore ha bonariamente detto che con questa dimostrazione io ho barato e mi ha fatto vedere la vera dimostrazione.
La mia domanda sulla quale mi sto arrovellando è: perché il mio procedimento è sbagliato? quale è l'idea sbagliata dietro il mio ragionamento?
Grazie.

[Martino]

Il tuo è un ragionamento "ad intuito" e in ultima analisi non è una dimostrazione. Perché lo diventi devi chiarire come si costruisce una biiezione \( \displaystyle (0,1) \to [0,1] \) a partire dalle tue considerazioni. Dove mandi un generico \( \displaystyle x \in (0,1) \) ? Se non la vuoi esibire, devi almeno dimostrare che esiste.

[LelleL]

se specifico che la biezione $f: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ è $y=-(1/(1-2*\epsilon_n))*x + (1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n)$ la dimostrazione diventa valida?

[Martino]

se specifico che la biezione $f: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ è $y=-(1/(1-2*\epsilon_n))*x + (1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n)$ la dimostrazione diventa valida?

No. Non è questa la biiezione che devi specificare. La biiezione che devi specificare è quella \( \displaystyle (0,1) \to [0,1] \) .

[gugo82]

Molto carino come esercizio.
Anche perchè, se hai studiato Analisi I, sai che la tua biiezione non può essere troppo "banale"...

Io ne ho costruito una carina, ma complicata... Però è probabile che ci sia una risposta più semplice.
Ad ogni modo, credo sia meglio (per ragioni di simmetria e comodità di ragionamento) se cerchi una biiezione tra \( \displaystyle ]-1,1[ \) e \( \displaystyle [-1,1] \) : infatti, se trovi tale biiezione, riesci facilmente a trovare quella di \( \displaystyle ]0,1[ \) in \( \displaystyle [0,1] \) (basta traslare e riscalare).

[LelleL]

se specifico che la biezione $f: [0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ è $y=-(1/(1-2*\epsilon_n))*x + (1-3*\epsilon_n)/(1-2*\epsilon_n)$ la dimostrazione diventa valida?

No. Non è questa la biiezione che devi specificare. La biiezione che devi specificare è quella \( \displaystyle (0,1) \to [0,1] \) .

se pongo $f: lim_{n \to \infty}[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e la funzione quella detta sopra? mi ci sto avvicinando? o sbaglio nel dire che il limite dell'intervallo $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]=(0,1)$ ?

[dissonance]

Che cosa significherebbe dire "limite dell'intervallo"?

[LelleL]

ho scritto male, quello che volevo dire è che $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]$ coincide con $(0,1)$ per $lim_{n \to \infty}\epsilon_n$

[Martino]

se pongo $f: lim_{n \to \infty}[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n] \to [0,1]$ e la funzione quella detta sopra? mi ci sto avvicinando? o sbaglio nel dire che il limite dell'intervallo $[0+\epsilon_n , 1-\epsilon_n]=(0,1)$ ?

Non capisco cosa vuoi dire. Vuoi costruire una biiezione \( \displaystyle (0,1) \to [0,1] \) (o \( \displaystyle [0,1] \to (0,1) \) , la sua inversa). Per fare questo devi dire dove va a finire un generico \( \displaystyle x \in (0,1) \) . Certamente \( \displaystyle x \) apparterra' a un sottoinsieme della forma \( \displaystyle [0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \) , ma mandarlo nell'elemento in cui viene mandato tramite la biiezione \( \displaystyle [0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \to [0,1] \) non va bene perche' la funzione che ottieni non e' ben definita (in altre parole, l'immagine di \( \displaystyle x \) dipende dal particolare intervallo \( \displaystyle [0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \) che prendi contenente \( \displaystyle x \) ).

[LelleL]

Non capisco cosa vuoi dire. Vuoi costruire una biiezione \( \displaystyle (0,1) \to [0,1] \) (o \( \displaystyle [0,1] \to (0,1) \) , la sua inversa). Per fare questo devi dire dove va a finire un generico \( \displaystyle x \in (0,1) \) . Certamente \( \displaystyle x \) apparterra' a un sottoinsieme della forma \( \displaystyle [0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \) , ma mandarlo nell'elemento in cui viene mandato tramite la biiezione \( \displaystyle [0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \to [0,1] \) non va bene perche' la funzione che ottieni non e' ben definita (in altre parole, l'immagine di \( \displaystyle x \) dipende dal particolare intervallo \( \displaystyle [0+\epsilon_n,1-\epsilon_n] \) che prendi contenente \( \displaystyle x \) ).

Ok, comincio a capire quale è lo sbaglio di tutta la mia idea