0.5 Universali e YonedaAbbiamo definito la nozione di trasformazione naturale e spero di essere riuscito a comunicare almeno in parte quanto sia profonda e significativa. In questa sezione introdurrò un altro concetto di importanza capitale, quello di freccia universale. Vedremo che questo concetto è collegato indissolubilmente ad altri due concetti (elemento universale e funtore rappresentabile). Al cuore di questa equivalenza si trova il lemma di Yoneda, probabilmente uno dei risultati più profondi e più utilizzati di tutta la teoria delle categorie elementari. Noi stessi lo useremo tra un paio di capitoli, quando vorremo determinare quali sono le mappe giuste tra gli insiemi algebrici. Ogni cosa a suo tempo, però!
Come si è visto nell'esercizio 4. della sezione precedente se
è un'equivalenza di categorie, allora è possibile costruire un isomorfismo
\( \displaystyle \varphi_{c,d} \colon \hom_{\mathbf D}(d,\mathcal F(c)) \to \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d), c) \)
naturale in \( \displaystyle c \) e \( \displaystyle d \) . L'idea era che \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d),c) \cong \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d), \mathcal G \mathcal F(c)) \cong \hom_{\mathbf C}(d,\mathcal F(c)) \) . In generale, se si lascia cadere l'ipotesi di equivalenza non si ha più l'isomorfismo \( \displaystyle c \simeq \mathcal G \mathcal F(c) \) che serviva ad ottenere la precedente catena di biezioni. Ci si può chiedere, però, sotto quali condizioni l'isomorfismo \( \displaystyle \hom_{\mathbf D}(d, \mathcal F(c)) \to \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d),c) \) esiste. Innanzi tutto, questa domanda può essere formulata in due modi distinti: ci si può chiedere se esiste l'isomorfismo esiste per ogni \( \displaystyle d \in \mathbf D \) e ogni \( \displaystyle c \in \mathbf C \) (problema globale) oppure se esiste per un determinato \( \displaystyle d \in \mathbf D \) fissato (problema locale). In questa sezione, affronteremo il problema locale, corrispondente all'idea di universale. Nella prossima sezione, invece, prenderemo di mira il problema globale, che corrisponde all'idea di aggiunzione.
Iniziamo la nostra indagine supponendo che esista l'isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F-) \to \hom_\mathbf{C}(\mathcal G(d),-) \) . Innanzi tutto, visto che abbiamo intenzione di mantenere \( \displaystyle d \) fissato, la presenza di \( \displaystyle \mathcal G \) è del tutto superflua; l'unica informazione di cui abbiamo bisogno è di sapere che esiste un oggetto \( \displaystyle c = c_d \in \mathbf{C} \) ed un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F-) \to \hom_\mathbf{C}(c,-) \) . Abbiamo una freccia particolare, \( \displaystyle u := \varphi_c^{-1}(1_c) \colon d \to \mathcal F(c) \) . Che proprietà ha questa freccia? Supponiamo di fissare un elemento \( \displaystyle c' \in \mathbf C \) e di scegliere una freccia \( \displaystyle v \colon d \to \mathcal F(c') \) . Allora \( \displaystyle f := \varphi_{c'}(v) \in \hom_{\mathbf C}(c,c') \) ed inoltre \( \displaystyle \mathcal F(f) \circ u = \mathcal F(f) \circ \varphi_c^{-1}(1_c) = \varphi_{c'}^{-1}(f) = v \) (avendo sfruttato la naturalità di \( \displaystyle \varphi^{-1} \) ). Inoltre la freccia \( \displaystyle f \) è univocamente determinata dalla richiesta \( \displaystyle \mathcal F(f) \circ u = v \) . La situazione è rappresentata dal seguente diagramma:
La freccia \( \displaystyle u \) ha quindi una proprietà di universalità: ogni altra freccia "dello stesso tipo" fattorizza attraverso di essa. Questa particolare proprietà è molto importante; possiamo descriverla meglio osservando che a godere di questa "universalità" non è semplicemente la freccia \( \displaystyle u \) , bensì la coppia oggetto \( \displaystyle c \) - freccia \( \displaystyle u \) . Possiamo codificare questa coppia in un elemento della comma categoria \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) . L'universalità si può riesprimere dicendo che per ogni oggetto \( \displaystyle (c',v) \in (d \downarrow \mathcal F) \) esiste un'unica freccia \( \displaystyle (1_d,f) \colon (c,u) \to (c',v) \) , ossia dicendo che \( \displaystyle (c,u) \) è un oggetto iniziale di \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) . La descrizione è completa, perché se \( \displaystyle (c,u) \) è iniziale in quella categoria, allora la proprietà è soddisfatta. Pertanto diamo la seguente definizione:
Definizione. Siano \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore e \( \displaystyle d \in \mathbf D \) un elemento qualsiasi. Una freccia universale da \( \displaystyle d \) a \( \displaystyle \mathcal F \) è un oggetto iniziale della comma categoria \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) .
Nota. Essenzialmente per definizione, vediamo che una freccia universale, quando esiste, è unica a meno di un unico isomorfismo (cf. esercizio 0.1.8).
Supponiamo che \( \displaystyle (c,u) \) sia una freccia universale da \( \displaystyle d \in \mathbf D \) a \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . Definiamo, per ogni \( \displaystyle a \in \mathbf C \)
\( \displaystyle \varphi_a \colon \hom_{\mathbf C}(c,a) \to \hom_{\mathbf D}(d, \mathcal F(a)) \)
ponendo \( \displaystyle \varphi_a(f) := \mathcal F(f) \circ u \) . La definizione stessa di freccia universale fa sì che \( \displaystyle \varphi_a \) sia una biezione. D'altra parte, non è difficile verificare che \( \displaystyle \varphi_a \) è naturale in \( \displaystyle a \) :
ora per ogni \( \displaystyle g \colon c \to a \) abbiamo \( \displaystyle ((Ff)_* \circ \varphi_a)(g) = (Ff)_*(\mathcal F(g) \circ u) = \mathcal Ff \circ \mathcal F(g) \circ u = \mathcal F(f \circ g) \circ u = \varphi_b(f_*(g)) = (\varphi_b \circ f_*)(g) \) e quindi il precedente diagramma commuta. Di conseguenza, abbiamo trovato un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{C}(c,-) \to \hom_{\mathbf D}(d,\mathcal F-) \) .
Possiamo anche in questo caso dare una definizione che colga l'essenza di quello che abbiamo fatto:
Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è detto rappresentabile se esiste un elemento \( \displaystyle c \in \mathbf C \) ed un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) . In tal caso \( \displaystyle c \) viene detto rappresentante di \( \displaystyle \mathcal K \) .
Possiamo quindi riassumere tutto il discorso precedente in un'unica proposizione:
Proposizione 1. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore qualsiasi (con \( \displaystyle \mathbf D \) localmente piccola). Allora fissato \( \displaystyle d \in \mathbf D \) , esiste una freccia universale da \( \displaystyle d \) a \( \displaystyle \mathcal F \) se e solo se il funtore \( \displaystyle \mathcal K := \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F-) \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è rappresentabile. In tal caso, se \( \displaystyle (c,u) \) è una freccia universale, allora il rappresentante di \( \displaystyle \mathcal K \) è \( \displaystyle c \) e l'isomorfismo \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) è definito da \( \displaystyle \varphi(f) := \mathcal F(f) \circ u \) . Viceversa, se è assegnato \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) , allora la freccia universale è \( \displaystyle (c,u) \) dove \( \displaystyle u = \varphi_c(1_c) \) .
Questa proposizione, o meglio, la sua dimostrazione, contiene l'idea fondamentale che sta alla base del Lemma di Yoneda. Tuttavia, prima di iniziare a parlare del Lemma di Yoneda, sia opportuno introdurre un ultimo concetto e soffermarsi su qualche esempio.
Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Un
elemento universale per un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è una freccia universale da \( \displaystyle \{*\} \) a \( \displaystyle \mathcal K \) .
Chiaramente un elemento universale per il funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) può essere visto come una coppia \( \displaystyle (c,x) \) dove \( \displaystyle x \in \mathcal K(c) \) . E' chiaro che un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è rappresentabile se e solo se ha un elemento universale: se il funtore ha un elemento universale, allora basta applicare la precedente proposizione, osservando banalmente che \( \displaystyle \hom_{\mathbf{Set}}(\{*\},\mathcal K-) \) è isomorfo come funtore a \( \displaystyle \mathcal K \) ; se invece il funtore è isomorfo a \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(c,-) \) tramite un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \) , allora \( \displaystyle \varphi_c(1_c) \in \mathcal K(c) \) può essere pensato come una freccia \( \displaystyle \{*\} \to \mathcal K(c) \) , e quindi non è difficile controllare che il funtore ammette elemento universale.
Esempi. Gli esempi di proprietà universali / funtori rappresentabili / elementi universali di certo non scarseggiano in matematica. Per ora propongo due esempi che ritengo particolarmente significativi. Nel seguito, avremo modo di incontrare un sacco di ulteriori esempi: ancora in questo capitolo, vedremo i concetti di limite e colimite. Nel seguito, poi, incontreremo tantissimi esempi di funtori rappresentabili: primo fra tutti, il funtore "insieme algebrico".
1. Proprietà universale del quoziente. Si fissi un insieme \( \displaystyle A \in \mathbf{Set} \) con una relazione di equivalenza \( \displaystyle \rho \) su \( \displaystyle A \) . Si consideri il funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Set} \) definito sugli oggetti ponendo \( \displaystyle \mathcal F (B) := \{f \colon A \to B \mid x \rho y \rightarrow f(x) = f(y)\} \) , l'insieme delle funzioni che rispettano la relazione di equivalenza \( \displaystyle \rho \) ; l'azione sulle frecce è definita per composizione a sinistra, esattamente come per \( \displaystyle \hom_{\mathbf{Set}}(A,-) \) . La coppia \( \displaystyle (A/\rho,\pi) \) , dove \( \displaystyle \pi \colon A \to A / \rho \) è la proiezione canonica, è allora un elemento universale per \( \displaystyle \mathcal F \) . Infatti, per ogni insieme \( \displaystyle B \) ed ogni scelta di un elemento \( \displaystyle f \in \mathcal F(B) \) , esiste un unico modo di definire \( \displaystyle \overline{f} \colon A / \rho \to B \) in modo che il diagramma
che concretamente significa richiedere la commutatività di
Pertanto la teoria sviluppata ci garantisce immediatamente che il funtore \( \displaystyle \mathcal F \) è rappresentabile; in particolare, \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf Set}(A / \rho, -) \to \mathcal F \) , \( \displaystyle \varphi(f) = f \circ \pi \) è l'isomorfismo. Come esercizio, il lettore può generalizzare questa proprietà universale ad altre categorie, prime fra tutte \( \displaystyle \mathbf{Grp} \) , \( \displaystyle \mathbf{Top} \) .
2. Proprietà universale dei gruppi ciclici. (consiglio la lettura attenta di quest'esempio perché può essere d'aiuto per la comprensione di Yoneda). Per ogni \( \displaystyle n \in \mathbb N \cup \{\infty\} \) si definisca il funtore \( \displaystyle \mathcal U_n \colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} \) definito da \( \displaystyle \mathcal U_n(G) := \{x \in G \mid x^n = 1_G\} \) se \( \displaystyle n < \infty \) , mentre \( \displaystyle \mathcal U_\infty(G) := G \) . L'azione sulle mappe è quella naturale. Allora questo funtore ha un elemento universale: \( \displaystyle (C_n,g) \) dove \( \displaystyle C_n \) è il gruppo ciclico con \( \displaystyle n \) elementi (se \( \displaystyle n < \infty \) , e \( \displaystyle \mathbb Z \) se \( \displaystyle n = \infty \) ) e \( \displaystyle g \) è un suo generatore. Controlliamo che sia verificata la proprietà universale:
Scegliere una freccia \( \displaystyle \{*\} \to \mathcal U_n(G) \) equivale a scegliere un elemento \( \displaystyle x \in \mathcal U_n(G) \) ; questo è un elemento tale che \( \displaystyle x^n = 1_G \) , quindi sappiamo che esiste un unico morfismo di gruppi \( \displaystyle C_n \to G \) soddisfacente \( \displaystyle f(g) = x \) .
Possiamo finalmente iniziare ad occuparci del lemma di Yoneda. Abbiamo visto nella
Proposizione 1 che l'isomorfismo \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) è completamente determinato dalla freccia \( \displaystyle u = \varphi_c(1_c) \colon d \to \mathcal F(c) \) , nel senso che sussiste l'uguaglianza \( \displaystyle \varphi_{c'}(f) = \mathcal F(f) \circ u \) . Questa è l'idea fondamentale del lemma di Yoneda, che si occupa di determinare le trasformazioni naturali da un funtore rappresentabile ad un funtore qualsiasi.
Per semplificare le notazioni, fissata una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) introduciamo il funtore \( \displaystyle Y \colon \mathbf C \to \mathbf{Set}^{\mathbf C^{\text{op}}} \) , \( \displaystyle Y(c) := \hom_\mathbf{C}(c,-) \) .
Lemma di Yoneda. Fissata una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) , un oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) ed un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) esiste una biezione
\( \displaystyle y \colon \text{Nat}(Y(c),\mathcal K) \cong \mathcal K(c) \)
che manda una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon Y(c) \to \mathcal K \) in \( \displaystyle \varphi_c(1_c) \) .
Dimostrazione. Definiamo \( \displaystyle y(\varphi) := \varphi_c(1_c) \) . Fissato un elemento \( \displaystyle x \in \mathcal K(c) \) , si vuole definire una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \) tale che \( \displaystyle y(\varphi) = x \) . Abbiamo pertanto due richieste che devono essere soddisfatte: \( \displaystyle \varphi_c(1_c) = x \) ed inoltre la naturalità impone
Pertanto, otteniamo la richiesta: \( \displaystyle \varphi_d \circ f_* = \mathcal K(f) \circ \varphi_c \) ; in particolare, valutando questa in \( \displaystyle 1_c \) otteniamo che necessariamente \( \displaystyle \varphi_d(f) = \mathcal K(f) (\varphi_c(1_c) = \mathcal K(f)(x) \) . Questa è pertanto la nostra definizione di \( \displaystyle \varphi \) ; non è difficile controllare la naturalità:
Evidentemente \( \displaystyle (\mathcal K(f) \circ \varphi_d)(g) = \mathcal K(f)(\mathcal K(g)(x)) = \mathcal K(f \circ g)(x) = \varphi_{d'}(f \circ g) = \varphi_{d'}(f_*(g)) = (\varphi_{d'} \circ f_*)(g) \) , e questo conclude la prova. []
Nota. Se si introduce il funtore di valutazione, \( \displaystyle E \colon \mathbf C \times \mathbf{Set}^{\mathbf C} \to \mathbf{Set} \) , definito da \( \displaystyle E(c,\mathcal K) = \mathcal K(c) \) sugli oggetti e \( \displaystyle E(f, \mathcal K) = \mathcal K(f) \) , \( \displaystyle E(c, \varphi) = \varphi_c \) , allora si può riformulare il lemma di Yoneda dicendo che \( \displaystyle (Y(c),1_c) \) è un elemento universale per \( \displaystyle E(c,-) \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) .
Nota. Si osservi che \( \displaystyle \text{Nat}, E \) sono due funtori definiti da \( \displaystyle \mathbf C \times \mathbf C^{\mathbf{Set}} \) a valori in \( \displaystyle \mathbf{Set} \) . La biezione \( \displaystyle y = y_{c, \mathcal K} \) costruita nel lemma di Yoneda allora risulta essere una trasformazione naturale tra questi due bifuntori. I dettagli sono lasciati per esercizio.
Concludo con qualche considerazione aggiuntiva sul concetto di universale.
Nota importante. Quello che segue è un discorso puramente informale: non datevi troppa pena se non capite tutto quello che ho scritto; inoltre, si tratta più che altro la mia visione delle cose (non l'ho mai trovata da nessuna parte detta in questi termini, ma è un punto di vista che trovo particolarmente illuminante; naturalmente sono apertissimo a critiche e discussioni in merito). Nutro, in effetti, l'ingenua speranza che il seguente discorso possa aiutare a comprendere meglio la nozione di proprietà universale prima e di aggiunzione poi. Io ho impiegato diversi mesi per dare forma concreta a queste elucubrazioni, ma adesso tutto mi appare effettivamente più chiaro.
Nella sezione precedente abbiamo parlato di universalità , cui mi sono riferito come "problema locale". Vorrei adesso provare a spiegare un po' meglio che cosa intendo: provate a pensare un "problema" semplicemente come ad un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . La "soluzione al problema" dovrebbe essere qualcosa che "inverta" in qualche senso il funtore \( \displaystyle \mathcal F \) ; bisogna discutere sul significato da dare alla parola "invertire". Da un lato, si sarebbe forse tentati di chiedere un'equivalenza, ma in realtà è una richiesta troppo forte. Come abbiamo visto in dettaglio (ma vedi anche l'ultimo paragrafo di questo discorso) nella sezione precedente, una richiesta ragionevole è che esista un funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) tale da avere una biezione naturale \( \displaystyle \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F(c)) \cong \hom_\mathbf{C}(\mathcal G(d), c) \) (potremmo chiamare questo concetto in modo informale, proprietà di "debole inversione").
Il problema è formulato globalmente se si richiede che il funtore \( \displaystyle \mathcal G \) sia definito su tutta la categoria \( \displaystyle \mathbf D \) . Il problema è formulato localmente se ci si accontenta di invertire il funtore \( \displaystyle \mathcal F \) "nell'intorno" di un punto. Ora, bisognerebbe discutere sulla nozione di intorno di un punto. E' più che ragionevole [1] pensare alla comma categoria \( \displaystyle (x \downarrow \mathbf C) \) come ad una "localizzazione" ad \( \displaystyle x \) . Seguendo sostanzialmente l'idea di crivello [2], possiamo allora pensare agli intorni di \( \displaystyle x \) come alle comma categorie della forma \( \displaystyle (x \downarrow \mathcal G) \) per qualche funtore \( \displaystyle \mathcal G \) . Dire che \( \displaystyle (c,u) \) è una freccia universale da \( \displaystyle d \) a \( \displaystyle \mathcal F \) è equivalente a dire che il funtore dimenticante da \( \displaystyle (\mathcal F(c) \downarrow \mathcal F) \) a \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) è pieno e fedele e (debolmente) invertibile. Ora, se in più richiediamo che il funtore indotto da \( \displaystyle \mathcal F \) a \( \displaystyle (c \downarrow \mathbf C) \) sia pieno e fedele, otteniamo effettivamente che \( \displaystyle \mathcal F \) è "debolmente invertibile nell'intorno di \( \displaystyle d \) " [3].
La parte delicata, in tutto questo discorso, è trovare la giusta nozione di "inversione (debole)". Qual è il vero significato di quella biezione sugli hom-sets? Qui, di nuovo, posso soltanto raccontarvi come io percepisco queste cose. Iniziamo a farci una domanda molto semplice: "cosa vuol dire invertire?". Il problema di invertire una mappa, così com'è classicamente inteso, è un po' troppo rigido: tantissime mappe interessanti non sono invertibili. Possiamo allora indebolire questo concetto, in questo modo: "un'inversione è la migliore approssimazione (canonica) al problema". In altre parole, se la mappa è invertibile in senso classico, vorremo ottenere esattamente l'inverso; altrimenti, ci accontentiamo di un'approssimazione, a patto, però, che sia la migliore possibile. Qui si apre un bivio: l'approssimazione deve essere fatta "per eccesso" o "per difetto"? Ecco, dal mio punto di vista, le frecce universali vanno pensate tenendo sempre a mente queste idee. Faccio qualche esempio concreto per mostrare che queste idee non sono, alla fine, tanto bislacche quanto appaiono.
Esempi.1. Si consideri il funtore dimenticante \( \displaystyle \mathcal U \colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} \) e si fissi un insieme \( \displaystyle X \in \mathbf{Set} \) . Il problema presentato dal funtore \( \displaystyle \mathcal U \) nell'intorno di \( \displaystyle X \) è: riesco ad associare ad \( \displaystyle X \) struttura di gruppo in modo sufficientemente canonico? La costruzione del gruppo libero su \( \displaystyle X \) , insieme con la mappa naturale di "inserimento dei generatori" \( \displaystyle X \to \mathbf{Z}^{(X)} \) , produce esattamente la soluzione a questo problema. Come vedete, è importante chiedere la canonicità : è vero, infatti, che ogni insieme può essere dotato di struttura di gruppo. Tuttavia, questo comporta delle scelte (infatti, è equivalente all'assioma della scelta) e non è un procedimento canonico. In particolare, cade la proprietà sulle mappe. Dal punto di vista categoriale, questo è l'approccio sbagliato al problema [4].
2. Si considerino i poset \( \displaystyle (\mathbb Z, \le) \) e \( \displaystyle (\mathbb R, \le) \) , con gli ordini naturali e li si rivedano come categorie. Sia poi \( \displaystyle \mathcal J \colon (\mathbb Z, \le) \to (\mathbb R, \le) \) il funtore di inclusione. Se \( \displaystyle x \in \mathbb R \) , allora è facile rendersi conto che \( \displaystyle \lceil x \rceil \) determina esattamente la freccia universale da \( \displaystyle x \) a \( \displaystyle \mathcal J \) . In quest'esempio si vede in modo piuttosto evidente (ancorché sia un esempio quasi stupido) come effettivamente l'universalità risponda ad un problema di approssimazione (in senso molto concreto).
[1] Le principali ragioni (che conosco io) sono da cercarsi nelle multicategorie e nelle topologie di Grothendieck per una categoria. Non entro nel merito sia perché non ho una padronanza sufficiente dell'argomento per poterlo spiegare, sia perché questo mi porterebbe decisamente troppo lontano dall'argomento attuale.
[2] Per chi sa di cosa sto parlando: se sostituiamo ad \( \displaystyle x \) il funtore rappresentabile \( \displaystyle \hom(-,x) \) un crivello diventa un sottofuntore di \( \displaystyle \hom(-,x) \) . Dato un funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf A \to \mathbf C \) , la categoria \( \displaystyle (\mathcal G \downarrow x) \) può essere facilmente completata ad un crivello su \( \displaystyle x \) , diciamo \( \displaystyle S \) . Viceversa, ogni crivello \( \displaystyle S \) su \( \displaystyle x \) determina in modo naturale una sottocategoria piena di \( \displaystyle (\mathbf C \downarrow x) \) ed il funtore di inclusione produce una categoria della forma \( \displaystyle (\mathcal G \downarrow x) \) (il cui crivello associato è proprio \( \displaystyle S \) ).
[3] Ho fatto trenta, faccio trentuno. Ribadisco ancora una volta che questa è la mia visione delle cose e non rivendico nessuna pretesa di correttezza. Per motivi analoghi a quelli accennati nella nota [1], viene abbastanza naturale pensare alla comma categoria \( \displaystyle (c \downarrow \mathbf C) \) come alla "categorie tangente" alla categoria \( \displaystyle \mathbf C \) nel punto \( \displaystyle c \) . Ora, chiedere che, dato un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) , il funtore indotto su \( \displaystyle (c \downarrow \mathbf C) \) sia pienamente fedele ricorda alla lontana il fatto che l'applicazione lineare tangente sia un isomorfismo (vedendo gli spazi vettoriali come categorie con un solo oggetto, ad esempio, cosicché pieno e fedele diventa sinonimo di equivalenza). Pertanto questa richiesta ricorda "da vicino" la richiesta che lo jacobiano di una funzione differenziabile sia non nullo. In un certo senso, quindi, questa è una categorificazione del teorema del Dini.
[4] Ognuno è libero di pensare ciò che vuole; io personalmente sono stato sopraffatto dallo sconcertante numero di casi in cui formulare un problema in termini categoriali aiuta a comprendere meglio il problema stesso e facilita (di conseguenza) la sua soluzione. Sono diventato quindi decisamente incline ad identificare
tout-court il modo "giusto" con il modo "categoriale". Questa è la mia posizione (un po' estremista, forse). Invito però a rispettare questa mia opinione, almeno fin quando non si sia lavorato per un bel po' di tempo con le categorie (applicate ad altri rami della matematica).
0.6 AggiunzioniOra che abbiamo introdotto il concetto di problema locale e lo abbiamo analizzato abbastanza a fondo, possiamo tornare a considerare il problema globale. Abbiamo già speso abbondanti parole in merito. Riassumendo, i dati del problema sono un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) ; vogliamo capire quando esiste un altro funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) con la proprietà che si abbia la seguente biezione naturale:
\( \displaystyle \hom_\mathbf{D}(\mathcal F(c), d) \cong \hom_{\mathbf C}(c, \mathcal G(d)) \)
(cambio notazioni rispetto al paragrafo precedente per allinearmi con la letteratura in merito).
Ora, procedendo ancora a livello informale, uno si aspetta (giustamente) che una soluzione globale induca una soluzione locale per ogni punto: questo è il primo fatto che dimostreremo. D'altra parte è ragionevole chiedersi: se ogni problema locale ha soluzione, riesco a "incollare" queste soluzioni per produrre un'unica soluzione globale? In questo caso, la risposta è
sì (e io trovo questo fatto decisamente stupefacente!).
Veniamo al sodo, finalmente.
Definizione. Siano \( \displaystyle \mathbf C \) , \( \displaystyle \mathbf D \) due categorie. Si dice che una coppia di funtori \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) e \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) determina una
situazione aggiunta \( \displaystyle \mathcal F \dashv \mathcal G \) se è data una biezione
\( \displaystyle \varphi_{c,d} \colon \hom_\mathbf{C}(c, \mathcal G(d)) \cong \hom_{\mathbf D}(\mathcal F(c), d) \)
che sia naturale in \( \displaystyle c,d \) . In questo caso diciamo che \( \displaystyle \mathcal F \) è aggiunto sinistro di \( \displaystyle \mathcal G \) e che \( \displaystyle \mathcal G \) è aggiunto destro di \( \displaystyle \mathcal F \) . Rappresenteremo una situazione aggiunta mediante la scrittura \( \displaystyle (\mathcal F, \mathcal G) \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . [1]
[... da aggiungersi la descrizione della naturalità ...]
Proposizione 1. Sia \( \displaystyle (\mathcal F, \mathcal G) \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un'aggiunzione. Allora esiste una trasformazione naturale \( \displaystyle \eta \colon \text{Id}_\mathbf{C} \to \mathcal G \mathcal F \) tale che per ogni \( \displaystyle c \in \mathbf C \) la coppia \( \displaystyle (\mathcal F(c), \eta_c) \) sia una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle \mathcal G \) .
Dimostrazione. Abbiamo visto (sezione 0.5, Proposizione 1) che esiste una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle \mathcal G \) se e solo se il funtore \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(c, \mathcal G-) \) è rappresentabile. Nel nostro caso, la biezione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(-,\mathcal G-) \to \hom_{\mathbf D}(\mathcal F -, -) \) induce una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi_{c, \cdot} \colon \hom_{\mathbf C}(c, \mathcal G -) \to \hom_\mathbf{D}(\mathcal F(c), -) \) . Pertanto sappiamo che, ponendo \( \displaystyle \eta_c := \varphi_{c,\mathcal F(c)}^{-1}(1_{\mathcal F(c)}) \) , la coppia \( \displaystyle (\mathcal F(c), \eta_c) \) è una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle \mathcal G \) .
Dobbiamo quindi solo controllare che le frecce \( \displaystyle \{\eta_c\}_{c \in \mathbf C} \) siano le componenti di una trasformazione naturale. Sia \( \displaystyle f \colon c_1 \to c_2 \) una freccia in \( \displaystyle \mathbf C \) . Dobbiamo controllare la commutatività del seguente diagramma:
[;\xymatrix { c_1 \ar[r]^-{\eta_{c_1}} \ar[d]^{f} & \mathcal G \mathcal F(c_1) \ar[d]^{\mathcal G \mathcal F(f)} \\ c_2 \ar[r]^-{\eta_{c_2}} & \mathcal G \mathcal F(c_2) };]
Ora:
\( \displaystyle \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_{c_1} = \mathcal G \mathcal F(f) \circ \varphi_{c_1, \mathcal F(c_1)}^{-1} (1_{\mathcal F(c_1)}) = \varphi_{c_1, \mathcal F(c_2)}^{-1}(\mathcal F(f) \circ 1_{\mathcal F(c_1)}) \)
\( \displaystyle = \varphi_{c_1, \mathcal F(c_2)}^{-1} (1_{\mathcal F(c_2)} \circ \mathcal F(f)) = \varphi_{c_2, \mathcal F(c_2)}^{-1}(1_{\mathcal F(c_2)}) \circ f = \eta_{c_2} \circ f \)
il che conclude la prova. []
[1] Non è un caso! In effetti, si può costruire una categoria i cui oggetti sono le categorie e le cui frecce sono le aggiunzioni. Questo però, anche se perfettamente naturale e per nulla difficile, esula dai presenti scopi. Rimando alla lettura del CWM di Maclane.
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!