Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda maurer » 15/05/2012, 17:08

Quando dico che due categorie "coincidono" intendo che c'è un isomorfismo (ossia una coppia di funtori, uno l'inverso dell'altro), che è diverso da chiedere un'equivalenza.

Il tuo procedimento è sostanzialmente corretto; dovresti controllare, ad essere pignoli, che hai definito dei funtori tra le due categorie (e che i due funtori sono uno l'inverso dell'altro), ma è piuttosto chiaro che (e perché) debba funzionare.
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda Leonardo89 » 15/05/2012, 18:19

Ok Maurer!
Se altri non facessero altro che riflettere sulle verità matematiche così in profondo e con continuità come ho fatto io, farebbero le mie scoperte.
K.F. Gauss
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Re: Strumenti di base: tensori e localizzazioni

Messaggioda Leonardo89 » 10/09/2012, 00:39

maurer ha scritto:
    1. "Strong Snake Lemma" o "versione naturale dello Snake Lemma". Supponete di avere il seguente diagramma, commutativo in ogni sua parte:
    \xymatrix{ & & & C_1 \ar[rr]^{\gamma_1} \ar[dd]_(.6){f^\prime} & & C_2 \ar[dd]_(.6){g^\prime} \ar[rr]^{\gamma_2} & & C_3 \ar[rr] \ar[dd]_(.6){h^\prime} & & 0 \\ & & A_1 \ar[dd]^(.4)f \ar[ur]^{k_1} \ar[rr]^(.6){\alpha_1} & & A_2 \ar[ur]^{k_2} \ar[dd]^(.4)g \ar[rr]^(.6){\alpha_2} & & A_3 \ar[ur]^{k_3} \ar[dd]^(.4)h \ar[rr] & & 0 \\ & 0 \ar[rr] & & D_1 \ar[rr]^(.4){\delta_1} & & D_2 \ar[rr]^(.4){\delta_2} & & D_3 \\ 0 \ar[rr] & & B_1 \ar[rr]^{\beta_1} \ar[ur]^{j_1} & & B_2 \ar[ur]^{j_2} \ar[rr]^{\beta_2} & & B_3 \ar[ur]^{j_3} }

Forse bisognerebbe aggiungere l'esattezza delle righe da sinistra a destra. ;)

maurer ha scritto:Mostrate allora che esiste il seguente diagramma commutativo:


\xymatrix{ \ker f \ar[r] \ar[d] & \ker g \ar[d] \ar[r] & \ker h \ar[r]^\partial \ar[d] & \text{coker } f \ar[d] \ar[r] & \text{coker } g \ar[r] \ar[d] & \text{coker } h \ar[d] \\ \ker f^\prime \ar[r] & \ker g^\prime \ar[r] & \ker h^\prime \ar[r]^\partial & \text{coker } f^\prime \ar[r] & \text{coker } g^\prime \ar[r] & \text{coker } h^\prime }

(questo è un risultato assai utile in algebra omologica di base. Lo propongo perché dovrebbe aiutarvi a prendere confidenza con la costruzione esplicita della mappa di bordo dello Snake lemma che talvolta è un po' ostica da digerire)


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mostrerò che il seguente diagramma esiste ed è commutativo.
\xymatrix{ \ker f \ar[r]^{\alpha_1^\prime} \ar[d]_{\varepsilon_1} & \ker g \ar[d]_{\varepsilon_2} \ar[r]^{\alpha_2^\prime} & \ker h \ar[r]^\delta \ar[d]_{\varepsilon_3} & \text{coker } f \ar[d]_{\varepsilon_4} \ar[r]^{\overline{\beta_1}} & \text{coker } g \ar[r]^{\overline{\beta_2}} \ar[d]_{\varepsilon_5} & \text{coker } h \ar[d]_{\varepsilon_6} \\ \ker f^\prime \ar[r]^{\gamma_1^\prime} & \ker g^\prime \ar[r]^{\gamma_2^\prime} & \ker h^\prime \ar[r]^{\delta^\prime} & \text{coker } f^\prime \ar[r]^{\overline{\delta_1}} & \text{coker } g^\prime \ar[r]^{\overline{\delta_2}} & \text{coker } h^\prime }

Definisco \(\displaystyle \varepsilon_1 \colon \ker f \to \ker f' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_1(a_1) = k_1 (a_1) \).
Si ha \(\displaystyle f' (k_1 (a_1)) = j_1 (f(a_1))=0 \) quindi \(\displaystyle \varepsilon_1 \) è ben definita.
Definisco \(\displaystyle \varepsilon_2 \colon \ker g \to \ker g' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_2(a_2) = k_2 (a_2) \) ed \(\displaystyle \varepsilon_3 \colon \ker h \to \ker h' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_3 (a_3)= k_3 (a_3) \): queste mappe sono ben definite per lo stesso motivo per cui è ben definita \(\displaystyle \varepsilon_1 \).

Ora devo dimostrare che \(\displaystyle \varepsilon_2 \alpha^\prime_1 = \gamma_1^\prime \varepsilon_1 \) cioè che per ogni \(\displaystyle a_1 \in \ker f \) si abbia \(\displaystyle k_2(\alpha_1(a_1))=\gamma_1 (k_1(a_1)) \) il che è vero.
Similmente si verifica che \(\displaystyle \varepsilon_3 \alpha^\prime_2 = \gamma_2^\prime \varepsilon_2 \).

Definisco \(\displaystyle \varepsilon_4 \colon \text{coker } f \to \text{coker } f' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_4 (b_1 + f(A_1)) = j_1(b_1) +f'(C_1) \).
Supponiamo \(\displaystyle b_1 + f(A_1)=b_1' + f(A_1) \) cioè \(\displaystyle b_1 - b_1' \in f(A_1) \). Esiste, allora, \(\displaystyle a_1 \in A_1 \) tale che \(\displaystyle b_1 - b_1'=f(a_1) \). Di conseguenza si ha \(\displaystyle j_1 (b_1 - b_1') = j_1(f(a_1)) = f' (k_1 (a_1)) \in f'(C_1) \) quindi \(\displaystyle \varepsilon_4 \) è ben definita.

Definisco \(\displaystyle \varepsilon_5 \colon \text{coker } g \to \text{coker } g' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_5 (b_2 + g(A_2)) = j_2(b_2) +g'(C_2) \) ed \(\displaystyle \varepsilon_6 \colon \text{coker } h \to \text{coker } h' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_6 (b_3 + h(A_3)) = j_3(b_3) + h'(C_3) \): queste mappe sono ben definite per lo stesso motivo per cui è ben definita \(\displaystyle \varepsilon_4 \).

Ora devo dimostrare che \(\displaystyle \varepsilon_5 \overline{\beta_1} = \overline{\delta_1} \varepsilon_4 \) cioè che per ogni \(\displaystyle b_1 + f(A_1) \in \text{coker } f \) si abbia \(\displaystyle \varepsilon_5( \overline{\beta_1}( b_1 + f(A_1)))= \overline{\delta_1} (\varepsilon_4( b_1 + f(A_1) )) \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \) \(\displaystyle j_2( \beta_1( b_1 ))+g'(C_2)= \delta_1 (j_1( b_1 ))+ g'(C_2) \) il che è vero perché \(\displaystyle j_2 \beta_1 = \delta_1 j_1 \).

Similmente si dimostra che \(\displaystyle \varepsilon_6 \overline{\beta_2} = \overline{\delta_2} \varepsilon_5 \).

Resta da dimostrare che \(\displaystyle \delta ' \varepsilon_3 = \varepsilon_4 \delta \) cioè che per ogni \(\displaystyle a_3 \in \ker h \), si abbia \(\displaystyle d_1 + f'(C_1) = j_1(b_1) + f'(C_1) \) dove \(\displaystyle \delta(a_3)=b_1 + f(A_1) \) e \(\displaystyle \delta' (k_3(a_3)) =d_1 + f'(C_1) \).

Sia \(\displaystyle a_2 \in A_2 \) tale che \(\displaystyle \alpha_2(a_2)=a_3 \) e sia \(\displaystyle c_2 \in C_2 \) tale che \(\displaystyle \gamma_2(c_2) = k_3(a_3) \) (si ricordi la costruzione delle mappe di bordo \(\displaystyle \delta \) e \(\displaystyle \delta' \)). Allora si ha \(\displaystyle \gamma_2(k_2(a_2))=k_3(\alpha_2(a_2))=k_3(a_3)=\gamma_2(c_2) \) quindi \(\displaystyle k_2(a_2) - c_2 \in \ker \gamma_2= \text{Im } \gamma_1\) perciò esiste \(\displaystyle c_1 \in C_1 \) tale che \(\displaystyle k_2(a_2) - c_2 = \gamma_1(c_1) \).

Si ha \(\displaystyle \delta_1(f'(c_1)) = g'( \gamma_1(c_1))=g'(k_2(a_2)-c_2)= g'(k_2(a_2)) - g'(c_2)= \)
\(\displaystyle =j_2(g(a_2)) - \delta_1(d_1) = j_2( \beta_1 (b_1)) - \delta_1(d_1) = \delta_1(j_1(b_1) - d_1) \).
Per l'iniettività di \(\displaystyle \delta_1 \) si ha \(\displaystyle j_1(b_1) - d_1 = f'(c_1) \in f'(C_1) \) da cui la tesi.


A parti errori di battitura e sviste varie, spero che l'impianto generale della dimostrazione abbia senso. :)

Chissà se maurer è ancora "in ascolto"! :-D
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