Algebra - Gruppi

[dazuco]

In un esercizio si chiede di
costruire l'insieme quoziente (Z24/<4>) (<4> sarebbe la classe resto modulo)

Quindi ho prima creato il sottogruppo S = <4>
e poi ho creato le classi laterali.
La prof in aula rifacendo l'esercizio ha creato solo 1 + S, 2 + S, 3 + S

quindi Z24/<4> = S, 1+S, 2+S, 3+S

ed è un gruppo ciclico generato da 1+S
Qual'è la regola che le ha permesso di soffermarsi a calcolare solo
1+S 2+S e 3+S senza considerare 5+S 6+S ..... etc ???
Un'ultima cosa perchè 1+S è il generatore???

Grazie 1000
ciao

[karl]

Le classi laterali del tipo m+S,con m>=4,non sono
disgiunte da quelle del tipo m+S con m<4
(com'e' facile vedere costruendole materialmente)
ed e' note che classi laterali la cui intersezione non sia vuota
risultano o coincidenti o l'una include l'altra .
E' quindi sufficiente prendere in considerazione
le sole classi laterali del tipo m+S con m<4.
Per quanto riguarda il generatore mi ricordo
che un gruppo ciclico di ordine n (dunque finito)
puo' avere al piu' w(n) generatori,essendo w(n) il cosiddetto
indicatore di Eulero ( o di Gauss), che e' il numero dei numeri<n
e primi con n.In questo caso n=4 e quindi w(4)=2, cioe' ci possono essere al piu' 2 generatori (ma non necessariamente proprio due).
Che poi il generatore sia proprio 1+S lo si potrebbe scoprire
effettuando le potenze successive di 1+S e vedere se si ottengono
gli altri componenti del gruppo.
( qui per potenza s'intende l'applicazione ,ad 1+S, due o piu'
volte l' operazione definita nel gruppo)
karl






Modificato da - karl il 15/12/2003 23:03:05