Curiosità Geometriche vol.1

[DavidGnomo]

Volevo esporre alcuni dubbi di carattere geometrico:

- Differenza tra lunghezza e larghezza?
Ho controllato anche su wikipedia che da' una defiinizione di larghezza come la dimensione orizzontale piu' piccola.
Quindi ... cos'è la profondità allora? E' solo un termine linguistico per indicare nello spazio una tra lunghezza o larghezza (ovvero dipende dalle dimensioni dell'oggetto preso in esame)?

- Segmento
Mi dicono che il segmento è un sottoinsieme infinito della retta.
Sul libro però è scritto "Il segmento è una parte finita di retta limitata da due punti che si dicono estremi del segmento".
Non mi torna quel "è una parte finita".

- Piano e continuità
Definizione del libro: "Il piano è un insieme infinito e continuo di rette" (ha 2 dimensioni).
Cosa significa "continuo" ? Intuitivamente potrei dire un insieme senza interruzioni....ma è un'idea che non so come si possa applicare ad un insieme.
Questa domanda, invece, puo' sembrare strana: è il piano che definisce l'insieme o qualsiasi insieme con quelle caratteristiche è un piano? (ho spiegato da cani )

Grazie ^__^

[Nikilist]

Lunghezza vs larghezza: non è una cosa ben definita, almeno io non l'ho mai saputo. Se sei in due dimensioni di solito si dice che lunghezza è orizzontale e larghezza verticale, se sei in tre la larghezza coincide con l'altezza, la profondità è definita e la lunghezza è la dimensione rimanente. Per quanto credo che queste siano solo convenzioni.

Segmento: devi fare attenzione alla distinzione tra "sottoinsieme" e "parte". Nel primo caso vedo la retta come l'insieme di numeri reali, ed è loro proprietà che dati due numeri reali a e b vi sono sempre infiniti numeri reali tra a e b, quindi se a e b sono gli estremi del segmento esso è un sottoinsieme infinito. Nel secondo caso si guarda all'aspetto geometrico della retta, in modo particolare si parla di lunghezza e il segmento ha lunghezza finita.

Piano: intuitivamente il piano è un insieme continuo di rette perché tra due rette qualsiasi non coincidenti ve ne è una terza parte del piano, ossia tra due elementi qualunque dell'insieme non coincidenti ve ne è un terzo sempre appartenente all'insieme. Sull'ultima domanda sono insicuro e preferisco non sbilanciarmi, ma sono convinto che l'insieme debba avere certe proprietà per definire un piano.

[amelia]

Vediamo se riesco a dissipare alcuni dei tuoi dubbi

- Differenza tra lunghezza e larghezza
Tra queste due parole l'unica che ha un preciso significato in matematica è lunghezza, anche se si preferisce distanza (tra due punti) o misura (di un segmento), invece larghezza o profondità sono parole specifiche della lingua italiana che vengono usata per descrivere oggetti di tipo matematico. Ad esempio se stai parlando di un parallelepipedo nel linguaggio comune si parla di lunghezza, larghezza (o profondità) e di altezza, in matematica si preferisce parlare delle tre dimensioni della figura, ma se è necessario distinguere si ricorre alle parole specifiche della lingua italiana.

- Segmento
Mi dicono che il segmento è un sottoinsieme infinito della retta, perché ha infiniti punti.
Sul libro però è scritto "Il segmento è una parte finita di retta limitata da due punti che si dicono estremi del segmento". In matematica usando un linguaggio rigoroso si dovrebbe dire "Il segmento è una parte limitata di retta", perché limitato significa che ha un inizio e una fine. La definizione corretta è "Il segmento è la parte di retta limitata da due punti che si dicono estremi del segmento", usare la parola "finita" è fuorviante perché matematicamente parlando significa che è un insieme finito.

- Piano e continuità
Definizione del libro: "Il piano è un insieme infinito e continuo di rette" (ha 2 dimensioni).
Il piano, il punto e la retta sono concetti primitivi della geometria euclidea e quindi di per sè non possono essere definiti. Quella che il libro tratta come una definizione è in effetti solo una "descrizione" intuitiva del concetto di piano.

Il problema della geometria della scuola media sta nel fatto che è una geometria intuitiva e descrittiva, quindi non può essere rigorosa.
Per essere rigorosa ha bisogno di una serie di assiomi (proprietà non dimostrabili che bisogna accettare per vere) e di alcuni concetti primitivi (che non possono essere definiti) che non fanno parte del programma della scuola media.
D'altra parte anche alla scuola superiore quando si affronta la geometria ipotetico-deduttiva si fa spesso ricorso alle nozioni intuitive che sono state introdotte nella scuola media.
Credo che con la tua curiosità e con le tue capacità logiche non indifferenti per uno studente di scuola media, saresti in grado di leggere con profitto i capitoli introduttivi di un qualsiasi libro di geometria di prima superiore.
Appena riesco guardo sul sito o un po' in giro sul web se trovo qualcosa che ti possa essere utile come introduzione alla geometria ipotetico-deduttiva, ma se hai fratelli più grandi puoi cominciare a dare un'occhiatina ai loro libri di geometria di prima superiore (possono andare bene anche i testi dei tuoi genitori, che probabilmente non contengono le trasformazioni isometriche, ma per il resto la geometria non è cambiata molto).
Spero di avere soddisfatto le tue curiosità.
Ciao
Amelia

[DavidGnomo]

Vi ringrazio per le vostre chiare risposte Vi auguro buona serata ed alla prossima