da @melia » 16/07/2008, 23:38
Sono un po' incerta su che cosa significa "verificare", potrei dimostrare questi problemi con la geometria sintetica, ma non credo che tu li potresti capire, ti mancano almeno tre anni di geometria per farlo.
1. Se verificare significa controllare in modo grafico e un po' ragionato allora penso che almeno il primo problema sia abbastanza semplice:
disegna una circonferenza e il triangolo equilatero ABC circoscritto ad essa, ogni lato del triangolo nel suo punto medio è tangente alla circonferenza, congiungi i tre punti di tangenza DEF. Indica con D il punto medio di AB, con E quello di BC e con F quello di AC. La nuova figura che ottieni è il triangolo DEF. Considera ora il triangolino ADF, è equilatero perchè ha un angolo di 60° e due lati uguali alla metà di AB, quindi anche DF è la metà di AB. Allo stesso modo verifichi che ED e EF sono la metà dei lati del triangolo ABC, quindi DEF è equilatero e i suoi lati sono la metà di quelli del triangolo di partenza.
2. per il secondo problema invece è un po' più difficile. Stabilito che per tre punti non allineati passa sempre una unica circonferenza e che la circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo ha l'ipotenusa come diametro, disegna la circonferenza passante per B e per i punti medi M e N dei cateti. Il triangolo BMN è rettangolo e quindi il centro del cerchio si trova nel punto medio di MN. Quello che resta da controllare è che anche il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa appartiene alla ciconferenza.
Quest'ultimo punto mi pare un po' difficile da esprimere a parole, prova a verificare se hai capito fino a qui e poi ne parliamo.