problema angoli

Messaggioda filippo51 » 08/04/2019, 09:11

Vorrei cercare di spiegare a una bambina di 1a media nel modo pù semplice questo problema:
Un angolo è la meta' più 10 del secondo, il quale è il triplo meno 13 del terzo e il totale è 106.

Grazie
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Re: problema angoli

Messaggioda axpgn » 08/04/2019, 19:18

Puoi usare i quadratini anche in questo caso …

Adesso pero arriva @melia che te lo spiega meglio di me … :-D
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Re: problema angoli

Messaggioda SirDanielFortesque » 08/04/2019, 20:01

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Normalmente si potrebbe fare un sistema, cioè si scrive algebricamente le tre condizioni, così:
la più semplice delle tre è l'ultima:

$\alpha+\beta+\gamma=106°$

Cioè sono tre angoli, le cui ampiezze, sommate, mi devono dare $106°$

Un angolo è la metà più dieci del secondo, ovvero:

$\alpha=1/2*\beta+10$

Il secondo è il triplo del terzo diminuito di $13°$

$\beta=3*\gamma-13$


$\{(\alpha+\beta+\gamma=106°),(\alpha=1/2*\beta+10°),(\beta=3*\gamma-13°):}$

Risolto mi dà:

$\alpha=35°$

$\beta=50°$

$\gamma=21°$

La soluzione potrebbe farsi per sostituzione, cioè sostituendo ordinatamente una delle tre condizioni nelle altre due:

Mettiamo la condizione di $(\alpha)=1/2*\beta+10°$ nella condizione

$(\alpha)+\beta+\gamma=106°$

$(1/2*\beta+10°)+\beta+\gamma=106°$

$1/2*\beta+10°+\beta+\gamma=106°$

$3/2*\beta+\gamma=96°$

$\gamma=96-3/2*\beta$


Adesso prendo queste altre due:
$\gamma=96-3/2*\beta$
$\beta=(3*\gamma-13°)$

e le combino

$\gamma=96°-3/2*\beta=96°-3/2*(3*\gamma-13°)=96°-9/2*\gamma+(39°)/2$

$\gamma=96°-9/2*\gamma+(39°)/2$

$11/2*\gamma=96°+(39°)/2$

$\gamma=2/11*(96°+(39°)/2)=2/11*(231°)/2=(7*3*11°)/2*2/11=7*3=21°$

Riprendo quanto ottenuto in precedenza a questo punto:
$\beta=(3*\gamma-13°)=63-13=50°$

$\alpha=1/2*\beta+10°=1/2*50°+10°=35°$

In definitiva:
$\{(\alpha=35°),(\beta=50°),(\gamma=21°):}$

@axpgn
axpgn ha scritto:Puoi usare i quadratini anche in questo caso …


Di che quadratini si tratta?
Ultima modifica di SirDanielFortesque il 08/04/2019, 20:07, modificato 1 volta in totale.
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Re: problema angoli

Messaggioda axpgn » 08/04/2019, 20:03

@Sir
Prima media!
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Re: problema angoli

Messaggioda SirDanielFortesque » 08/04/2019, 20:06

Cavoli è vero! Non è facile però semplificare. Non conosco altre vie al momento. Scusate l'intrusione. Mi intriga ciò che hai asserito, cioè che ci sia una via più elementare. Non mi viene in mente niente.
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Re: problema angoli

Messaggioda axpgn » 08/04/2019, 20:37

Il metodo dei "quadratini" (come lo chiamo io ma anche molti altri :D ) consiste nell'assegnare arbitrariamente una certa quantità di "quadratini" (che così possono esser disegnati facilmente dai ragazzini) ad una delle incognite da trovare.
È analogo al metodo della "falsa posizione" che era usato dagli antichi per risolvere le equazioni quando ancora le equazioni non si conoscevano :D .
Come sostituto delle equazioni funziona sempre però se hai dei numeri "bastardi" come in questo caso non è semplice per i ragazzini (ma non per i grandi :-D ... vabbè, si scherza)

Comunque, dato che dividere dei quadratini non è semplice, l'incognita da scegliere di solito è quella più piccola o che vada moltiplicata; in questo caso prenderei il terzo angolo, lo prenderei dispari dato che poi va sommato/sottratto ad un numero dispari ($13$) che poi andrà diviso ("metà")
Quindi poniamo che il terzo angolo sia "lungo" $27$ quadratini allora il secondo è il triplo del terzo (quindi $81$ quadratini) al quale però devo sottrarre $13$ quadratini, per un totale quindi di $68$ quadratini.
Il primo è la metà del secondo (quindi $34$ quadratini) a cui ne vanno aggiunti $10$, in totale $44$.
Se li sommo ottengo $139$: troppi.
Quindi riprovo con $25$ invece di $27$ e così via finché arrivo alla soluzione giusta che è $21$ (per il terzo angolo)

Sono fermamente convinto che @melia possa fare molto meglio … :-D :-D

Cordialmente, Alex
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Re: problema angoli

Messaggioda Vidocq » 08/04/2019, 20:44

Anche questo metodo, se pur validissimo, mi sembra complicato per il tipo di problema assegnato. :-k

Sono curioso di leggere la soluzione proposta dal testo, se esiste.
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Re: problema angoli

Messaggioda SirDanielFortesque » 08/04/2019, 20:45

A me non l'avevano mai insegnato.

Grazie della spiegazione.

axpgn ha scritto:ma non per i grandi

https://youtu.be/K_blL4xt6q0
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Re: problema angoli

Messaggioda axpgn » 08/04/2019, 20:50

@Vidocq
In generale questo è uno dei metodi più utilizzati a quel livello ed è compreso bene dai ragazzini di quell'età; in questo caso la difficoltà è data dai numeri effettivamente usati che non si prestano bene :wink:
Strano che sia di prima media ...
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Re: problema angoli

Messaggioda Vidocq » 08/04/2019, 20:54

Mi riferisco ai numeri, infatti. Andando per tentativi si rischia di far annoiare il ragazzino.

Ho cercato su internet. E' un problema che "gira" da almeno 12-13 anni (tutti chiedono aiuto! please, prima media e tutti rispondono con sistemi ed equazioni differenziali. :-D).
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