Problema esercizi sui Polinomi

[littlefortune]

Salve a tutti. Chiedo scusa se non e' la sezione giusta.
Ho ripreso (ho 43 anni) a studiare matematica proprio grazie a libri in pdf,trovati su questo sito.
Per questo ringrazio chi dedica il suo tempo a fare tutto ciò.
Il libro in questione e': Dal problema al modello matematico – Volume 1 per il biennio. Di Carmelo Di Stefano.

Mi sono incartato su diversi esercizi inerenti ai polinomi.

Esercizi pag 209 11,13,15.

Primo esercizio (11):
Scrivere la forma generale di un polinomio omogeneo e completo di terzo grado nelle variabili x, y e z
a coefficienti unitari. [$x^3 + x^2y + x^2z + xy^2 + xz^2 + y^2z + yz^2 + y^3 + z^3$]

Io pensavo che per risolvere l'esercizio bastava fare cosi:
$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 + y^2z + yz^2 + z^3$

Secondo Esercizio (13):
Quanti termini ha un polinomio omogeneo e completo di IV grado in tre variabili? [14]
Ho immaginato che la soluzione fosse questa:
$x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 + y^3z + y^2z^2 + yz^3 + z^4$

Terzo Esercizio (15)
Assegnando ai coefficienti solo i valori +1 e –1, scrivere tutti i polinomi omogenei e completi di
secondo grado nelle due variabili x e y. Quanti sono tutti i polinomi? [8]

Ammetto di non averlo capito.Ho pensato cosi:
$x^2 + xy + y^2 -x^2 -xy - y^2$
ma capisco che in questo modo (se non sbaglio) diventa zero.

Grazie in anticipo a chi dedicherà un pò del proprio tempo a rispondermi.

[ghira]

Primo esercizio (11):
Scrivere la forma generale di un polinomio omogeneo e completo di terzo grado nelle variabili x, y e z
a coefficienti unitari. [$x^3 + x^2y + x^2z + xy^2 + xz^2 + y^2z + yz^2 + y^3 + z^3$]

Io pensavo che per risolvere l'esercizio bastava fare cosi:
$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 + y^2z + yz^2 + z^3$

Così non hai $xz^2$ quindi manca qualcosa e non è "completo".

Secondo Esercizio (13):
Quanti termini ha un polinomio omogeneo e completo di IV grado in tre variabili? [14]
Ho immaginato che la soluzione fosse questa:
$x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 + y^3z + y^2z^2 + yz^3 + z^4$

Ma invece?

Non vedo, per esempio, $xz^3$.

Terzo Esercizio (15)
Assegnando ai coefficienti solo i valori +1 e –1, scrivere tutti i polinomi omogenei e completi di
secondo grado nelle due variabili x e y. Quanti sono tutti i polinomi? [8]

Ammetto di non averlo capito.Ho pensato cosi:
$x^2 + xy + y^2 -x^2 -xy - y^2$
ma capisco che in questo modo (se non sbaglio) diventa zero.

Perché zero? Hai scritto un polinomio. Se credi che questo sia l'elenco completo, la tua risposta è "1", no?

(Edit: non avevo guardato il tuo polinomio. OK viene 0. Ma ... direi che hai scritto un polinomio. Sbagliato. Ma la tua risposta alla domanda "Quanti sono?" dovrebbe essere 1 se hai fatto un elenco di ben 1 polinomio. Ma sai già che la risposta è 8 e in un messaggio sucessivo li elenchi tutti)

[littlefortune]

Grazie per avermi risposto.

Per Polinomio completo, pensavo si intendesse il fatto che ogni variabile dovesse apparire con tutte le potenze da zero fino a quello massimo,senza dover ripetere il tutto per ogni altra variabile nel polinomio.

Per esempio nell'esercizio (11) tu mi fai notare che manca $xz^2$.
Perciò vuol dire che per ogni altra variabile presente nel polinomio,devo riscriverlo (in questo caso da 0 a 3).

[littlefortune]

Credo di aver capito l'esercizio (15):

$x^2 + xy + y^2$; $x^2 + xy -y^2$;
$x^2 -xy -y^2$; $x^2 -xy + y^2$;
$-x^2 -xy -y^2$; $-x^2 -xy + y^2$;
$-x^2 + xy -y^2$; $-x^2 +xy +y^2$

[littlefortune]

Per l'esercizio (13):

$x^4 + x^3y +x^2y^2 + xy^3 + y^4 + y^3z + y^2z^2 + yz^3 + z^4 + x^3z + x^2z^2 + xz^3$

Il libro dice che la soluzione e' 14,invece io ne conto solo 12.Non capisco dove sbaglio.

[@melia]

Secondo me devono essere 15 e mancano $x^2yz, xy^2z, xyz^2$

[littlefortune]

Grazie anche a te, Melia per avermi risposto.
Però scusami come dice tu il polinomio non sarebbe più completo, ho sbaglio?
Come già detto a Ghira mi sto incartando sul capire polinomio omogeneo e completo!!!

[ghira]

Secondo Esercizio (13):
Quanti termini ha un polinomio omogeneo e completo di IV grado in tre variabili? [14]

Quasi sicuramente non è così che "dovresti" farlo, ma...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 5E4%29%5E3

15. Coefficiente di $x^4$ nella sezione "Expanded form".