Campo elettrico indotto: una situazione poco chiara

[mathbells]

Su molti testi è riportata la seguente spiegazione: le linee di forza del campo elettrico indotto sono linee chiuse, perpendicolari in ogni punto al campo magnetico. In particolare, se il campo magnetico è uniforme, le linee del campo elettrico indotto sono circonferenze.

La cosa che non è chiara, è quale sia il centro di tali circonferenze nel caso in cui il campo magnetico sia indefinitamente esteso o, equivalentemente, abbia estensione finita ma ci limitiamo a considerare una piccola porzione di spazio lontana dai bordi della regione sede del campo magnetico. Mi spiego.

Consideriamo il caso del campo elettrico indotto da una corrente variabile che scorre in un solenoide infinito. E’ evidente che per ragioni di simmetria le linee di forza del campo elettrico indotto siano circonferenze centrate sull’asse del solenoide e che lungo ciascuna di tali linee il modulo del campo elettrico sia costante. Questo ci permette non solo di calcolare agevolmente la circuitazione del campo elettrico lungo una qualsiasi linea \(\displaystyle \gamma \) (basta derivare il flusso di \(\displaystyle \vec B \) concatenato alla linea) ma ci consente anche, se prendiamo la linea \(\displaystyle \gamma \) centrata sull’asse del solenoide, di calcolare il modulo del campo elettrico a distanza d dall’asse del solenoide, poiché in questo caso è facile scrivere la circuitazione di \(\displaystyle \vec E \):

\(\displaystyle E = \frac{\left |\frac{d\Phi B(t)}{dt}\right |}{2\pi d} \)

A seconda che che \(\displaystyle d \) sia maggiore o minore del raggio del solenoide, poi, si ottengono risultati diversi.

Adesso veniamo al ‘mistero’. Consideriamo un campo magnetico uniforme, verticale, con modulo variabile nel tempo, indefinitamente esteso. Che forma hanno le linee di forza del campo elettrico indotto? Circonferenze su piani perpendicolari a B? Ok...ma dove sono i/il centri/centro di tali circonferenze?

Se voglio calcolare la circuitazione di \(\displaystyle \vec E \) lungo una qualsiasi linea piana perpendicolare a \(\displaystyle \vec B \), la questione non crea problemi...basta derivare il flusso attraverso la superficie delimitata da \(\displaystyle \gamma \) e si trova il risultato. Ma se voglio calcolarmi il valore di \(\displaystyle E \) ? Qui torna in ballo la stessa domanda: che forma hanno le linee di forza di \(\displaystyle \vec E \) ? Supponendo che siano circonferenze (spegnendo il cervello per un attimo e non chiedendosi dove sia il centro....) e prendendo una linea gamma lungo una di tali circonferenze, si trova che il valore di E è:

\(\displaystyle E = \frac{r}{2}\left |\frac{dB(t)}{dt}\right| \)

ma anche qui il problema, ovviamente, rispunta: che significa quella r? Da quale centro (appunto) è misurata? Ma più in generale: se \(\displaystyle \vec B \) è uniforme (il sistema è invariante per traslazioni) anche \(\displaystyle \vec E \) dovrebbe esserlo.


Qualcuno può darmi delucidazioni? Grazie!

[mgrau]

se \(\displaystyle \vec B \) è uniforme (il sistema è invariante per traslazioni) anche \(\displaystyle \vec E \) dovrebbe esserlo.

La risposta breve - in attesa di spiegazioni più formali che io non sono in grado di fornire - è: non esistono campi magnetici uniformi... In certi casi considerare modelli irrealistici funziona - tipo piano carico indefinito - in altri meno.
Del resto, la risposta formale passa per l'equazione di Maxwell che lega il rotore di E alla veriazione di B, che poi va corredata da condizioni al contorno, che in questo caso probabilmente portano a situazioni anomale.

[mathbells]

Ciao mgrau grazie per la risposta . Avevo pensato anche io alla 'irrealizzabilità' di campi magnetici uniformi infinitamente estesi, ma non mi convinceva molto come argomentazione. Per questo ho messo come situazione equivalente quella in cui la regione sede del campo magnetico sia limitata ma ci concentriamo in una piccola parte di essa, lontana dai bordi. Tuttavia, riflettendoci ora, mi viene da pensare: se consideriamo una regione finita, sede di B, di forma circolare, le linee di E sono circonferenze con centro nel centro del sistema. Se ora considero una piccola parte di tale regione (quella rossa in figura) lontana dai bordi, sappiamo perfettamente dove passano e come sono le linee di forza di E, perché sappiamo come sono fatte in tutta la regione. Ed è chiaro che, localmente, non appaiono certo come linee chiuse. Credo fosse questo il mio dubbio: pensavo che le linee dovessero chiudersi 'localmente' in qualche modo...Grazie per il suggerimento. Attendiamo altri contributi

[Shackle]

Anzichè pensare alla forma integrale delle equazioni di Maxwell , in particolare la terza, pensa alla forma locale della stessa:

$vecnabla\timesvecE = - (delvecB)/(delt)$

che vale appunto localmente, pure nel vuoto, anche se non c’è un circuito con delle cariche elettriche che possono muoversi. Se nello spazio vuoto o con dielettrici o conduttori c’è un campo magnetico variabile nel tempo, è presente un campo elettrico NON conservativo, perché l’integrale lungo un eventuale percorso chiuso dipende dal percorso. Ti consiglio di dare un’occhiata al IIº volume del Mencuccini-Silvestrini, cap. VII , paragrafo VII.3 .
E guardati anche questa lezione di Feynman :

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_17.html

nel paragafo 17.3 si fa un esempio di spira circolare, e si arriva alla formuletta che hai scritto tu. Ma se la spira non è circolare, l’integrale è diverso : e se non esiste proprio, non è detto che non ci sia la $vecE$ quando varia $vecB$.

[mathbells]

Ciao shackle! Grazie per l'intervento, quanto dici è vero ma il problema non è nel calcolo quanto sulle premesse. Il risultato che si ottiene è basato sull'ipotesi che le linee di forza del campo elettrico siano circonferenze e che si sappia dove si trovi il centro (la r è appunto la distanza da tale centro) ma il problema è che non si sa dire dove si trovi tale centro. Nella lezione di Feynman, lui fa l'ipotesi che esista un asse di simmetria per il campo

For our example we will imagine that the magnetic field is symmetric about some axis, i.e., that the strength of the magnetic field will depend only on the distance from the axis

In questo caso è chiaro dove sia il centro delle linee di forza di \(\displaystyle \vec E \). Ma nel caso proposto da me, non esiste tale asse di simmetria o, meglio, ne esistono infiniti poiché qualsiasi asse verticale è un asse di simmetria.

Il fatto che anche Feynman, pur avendo bisogno, per il suo esempio, di un campo magnetico uniforme (come dice egli stesso)

We imagine a magnetic field which, everywhere on a plane, points in a vertical direction

in realtà ne prende uno non uniforme, come si vede chiaramente dalla figura (le linee di forza non sono verticali, ma curve) e ipotizza pure un centro di simmetria, mi fa pensare sempre di più che la riposta al mio quesito è proprio quella che ha dato mgrau: un campo magnetico perfettamente uniforme è impensabile e, in alcune situazioni, crea incongruenze con le equazioni. Questa è una di quelle situazioni.

[Shackle]

La legge di Faraday per l’induzione e.m. è quella locale, che lega il rotore di $vecE$ alla variazione del campo magnetico concatenato a un qualunque percorso chiuso nel campo magnetico. La legge è scritta nella formula 17.1 di Feynman. Riporto questa frase di quella lezione :

We begin by making an important point: The part of the emf that comes from the E-field does not depend on the existence of a physical wire (as does the v×B part). The E-field can exist in free space, and its line integral around any imaginary line fixed in space is the rate of change of the flux of B through that line. (Note that this is quite unlike the E-field produced by static charges, for in that case the line integral of E around a closed loop is always zero.)


Anche se la linea immaginaria di cui parla Feynman non è un conduttore fisico, il campo elettrico indotto esiste. Per me non c’entra com’è fatto il campo magnetico. Può benissimo essere non uniforme , che vuol dire? Noi abbiamo a che fare tutti i momenti con il campo gravitazionale, che non è uniforme, ma esiste pur se non c’è una pietra che cade, no? E per di più è conservativo.

[Meditabondo]

Salve, scusate se intervengo un pó in ritardo, ma mi sembra che il problema sia definire le linee di forza di un vettore la cui sorgente sia un rotore diverso da zero.
Non sono forte in matematica, ma a naso direi che localmente in ogni punto il campo sia concentrico al punto stesso. A livello integrale bisognerebbe calcolare il contributo di tutti vortici infinitesimali facendo appunto una circuitazione su una linea chiusa. Mi sembra plausibile che il risultato finale dipenda dalla simmetria del sistema.
Detto in termini ancora più intuitivi direi che in ogni punto del campo se ci mettiamo una carica di prova, questa si metterebbe a girare.
Forse il tutto è molto maccheronico, e chiedo perdono per questo, ma mi farebbe sapere cosa ne pensano i più esperti. Grazie