Triangolo isoscele inscritto in una semicirconferenza

[axpgn]

Buonasera

Ho questo problema di terza media:

Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di raggio $20$.
La diagonale è i $5/4$ della sua proiezione mentre il lato obliquo è i $5/3$ della sua proiezione.
La differenza tra la diagonale e la sua proiezione è $6.4$.

Determinare base minore e perimetro.

Ora non ho problemi a risolvere con Pitagora ed equazione di secondo grado ma, purtroppo, tali argomenti non sono ancora stati trattati
Qualcuno conosce qualche scorciatoia usando qualche proprietà a me sconosciuta?


Thanks


Cordialmente, Alex

[sellacollesella]

Sulle equazioni di secondo grado concordo, ma Pitagora mi auguro vivamente che lo conoscano!

Affinché la diagonale sia i \(5/4\) della sua proiezione, se la sua proiezione è composta da quattro segmentini, la diagonale deve essere composta da cinque segmentini. Pertanto, la differenza tra diagonale e sua proiezione corrisponde ad un segmentino che sappiamo essere lungo \(6.4\), da cui è immediato stabilire che la diagonale misura \(32\) e la sua proiezione misura \(25.6\). Quindi, per Pitagora, l'altezza del trapezio isoscele misura \(19.2\).

Affinché il lato obliquo sia i \(5/3\) della sua proiezione, se la sua proiezione è composta da tre segmentini, il lato obliquo deve essere composto da cinque segmentini. D'altro canto, sappiamo anche che la base maggiore del trapezio isoscele è due volte il raggio della semicirconferenza circoscritta, pertanto la proiezione del lato obliquo si calcola per differenza e porta a \(14.4\). Alla luce di ciò, un segmentino misura \(4.8\) e quindi il lato obliquo misura \(24\).

Infine, la misura della base minore del trapezio isoscele si calcola sottraendo alla misura della base maggiore la misura delle proiezioni dei due lati obliqui e si ottiene \(11.2\). Perimetro ed area sono ora serviti!

[@melia]

Non so postare le figure, ma la descrivo: AB il diametro e poi metti in senso antiorari C e D sulla base minore, H proiezione di C sul diametro e O centro della semicirconferenza.
La diagonale è i 5/4 della sua proiezione cioè $AC = 5/4 AH$ cioè $AC = AH + 1/4 AH$, perciò $AC -AH= 1/4 AH$ e da qui calcoli $AH= 4*6,4= 25,6 cm$

Noto $AH$ calcoli $HB$ per differenza e poi $CB$.

La base minore $DC$ si trova per differenza tra $AB$ e il doppio di $HB$.

Sono d'accordo che in terza media si dovrebbe conoscere il teorema di Pitagora, ma in questo esercizio non serve fino a che non ti sia richiesta l'area del trapezio.

[sellacollesella]

in questo esercizio non serve fino a che non ti sia richiesta l'area del trapezio

Eh ma se leggo solo l'introduzione del problema poi è chiaro che vada a calcolare cose a caso. Grazie!

[axpgn]

Pitagora non lo hanno ancora "formalmente" fatto ma lo faranno quindi in teoria per questo esercizio non era necessario, ed infatti non serve
Per quanto riguarda i quadratini, dopo averne risolti a migliaia, che dico centinaia, me li ero completamente scordati

Gracias a todos, mucho

Alex

[@melia]

Eh ma se leggo solo l'introduzione del problema poi è chiaro che vada a calcolare cose a caso. Grazie!

Neppure io avevo letto attentamente, tanto che ho subito pensato ad un problema di seconda media pre-teorema di Pitagora, anzi alla fine mi sono controllata con i calcoli se il TdP fosse rispettato (spesso negli esercizi pre-Pitagora ho trovato problemi con triangoli rettangoli che non rispettavano il teorema). Quando ho visto la tua risposta ho riletto bene il testo.
Grazie a te.

[sellacollesella]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Pitagora non lo hanno ancora "formalmente" fatto ma lo faranno

Oltre ad essere super attivo sul Forum dai pure ripetizioni di matematica?! Ma lo trovi il tempo per dormire? Hahah! Naturalmente si scherza, mi faceva piacere scrivertelo e non pensarlo e basta!

[axpgn]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

È tutto "aggratis"
Ma lo faccio da ben prima che frequentassi il Forum, da sempre in pratica

[Bokonon]

Non so postare le figure, ma la descrivo: AB il diametro e poi metti in senso antiorari C e D sulla base minore, H proiezione di C sul diametro e O centro della semicirconferenza.

Per pura curiosità, prendo spunto da @melia per capire cosa sappiano fare i ragazzi di terza media ponendo delle domande.
Se $AD=5/3AH rArr AH=3/5AD$. Comprendono questo concetto?
Il triangolo ABD è retto poichè inscritto nella semicirconferenza. Conoscono questa proprietà?
I triangoli AHD, DHB e ABD hanno angoli uguali, pertanto i rapporti fra lati corrispondenti sono identici. Conoscono il concetto/teorema?
Dai fatti precedenti, deduciamo che $AD=3/5AB=3/5*40=24$
Quindi $DC=AB-2AH=40-2*3/5*24=(200-144)/5=56/5$
Etc.

Fondamentalmente sono colpito dal fatto che diano problemi risolvibili con la metà delle informazioni date...e mi chiedo perchè...

[sellacollesella]

prendo spunto da @melia per capire cosa sappiano fare i ragazzi di terza media ponendo delle domande

Sicuramente sono la persona meno indicata per rispondere essendo insegnante di nulla, ma se penso al mio vissuto alle scuole medie ricordo solo che le uniche operazioni che facevo quando mi si dava dei rapporti era con rappresentazione grafica tramite segmentini (o quadratini) che poi andavo a sommare o sottrarre a seconda dei casi. Tant'è che le formule \(A = b\cdot h\), \(b = A/h\), \(h = A/b\) le vedevo come tre formule distinte, tra cui la prima diretta, le altre due inverse. Idem per il teorema di Pitagora, unico teorema di cui ho ricordi alle scuole medie, il quale lo avevo in mente nelle sue due forme che applicavo a seconda dei casi. Tutto ciò poi veniva esteso anche al caso tridimensionale, con conseguente mole immensa di formule dirette e inverse da ricordare per calcolare quelle maledette masse di cilindri cavi con sopra una piramide dentro un cubo!