Cilindro e cono

[fausto1947]

Buona sera,
non riesco a trovare la dimostrazione relativa al rapporto di volume di 1/3 esistente tra cono e cilindro.
Fausto

[sellacollesella]

Innanzitutto noterei che, per similitudine fra triangoli, vale la proporzione: \[
r : R = h : H \quad \quad \Rightarrow \quad \quad r = \frac{R\,h}{H}.
\] Quindi, sezionando il cono con un piano parallelo alla base si ottiene un cerchio di area: \[
A = \pi r^2 = \pi\left(\frac{R\,h}{H}\right)^2.
\] Pertanto, che ne so, se immaginiamo un cono composto da \(8\) fette di spessore \(\Delta H\), si ha: \[
\begin{aligned}
V
& \approx \sum_{i=1}^8 A_i\Delta H \\
& = \sum_{i=1}^8 \pi\left(\frac{R\,h_i}{H}\right)^2\frac{H}{8} \\
& = \frac{\pi R^2}{8H}\sum_{i=1}^8 h_i^2 \\
& = \frac{\pi R^2}{8H}\left[\left(1\frac{H}{16}\right)^2+\left(3\frac{H}{16}\right)^2+\dots+\left(15\frac{H}{16}\right)^2\right] \\
& = \frac{\pi R^2H}{8\cdot 16^2}\left(1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+13^2+15^2\right) \\
& = \frac{\pi R^2H}{8\cdot 16^2}\cdot 680 \\
& \approx 0.332031\,\pi R^2H.
\end{aligned}
\] Ripetendo il gioco con più fette sempre più sottili si nota che il coefficiente si avvicina a \(1/3\).

D'altro canto, credo sia già troppo complicato per le scuole medie, al più lo farei per via sperimentale travasando dall'acqua da un cono in un cilindro graduato con stessa altezza e stessa area di base.

[fausto1947]

Grazie per la pronta risposta che già conoscevo.
Pensavo che esistesse una dimostrazione che non utilizzasse sommatorie o integrali e quindi più consona a dei ragazzi delle scuole medie.
Chiedo scusa del disturbo
Fausto

[LucaSt]

Ciao! Si potrebbe vedere anche in questo modo:
1) si può dividere un cubo in tre piramidi a base quadrata di volume equivalente, quindi il volume di ciascuna piramide è 1/3 di quello del cubo

2) si può allungare il cubo lungo la sua altezza ottenendo un parallelepipedo a base quadrata. Le tre piramidi del punto precedente risulteranno anch'esse deformate ma il rapporto tra volumi rimane invariato, cioè sempre pari a 1/3 del volume del parallelepipedo
3) si può ottenere un cono con lo stesso volume di una piramide a base quadrata se si prende la stessa altezza e la stessa area di base (principio di Cavalieri)
4) si può ottenere un cilindro con lo stesso volume di un parallelepipedo a base quadrata se si prende la stessa altezza e la stessa area di base
5) si conclude che il cono ha volume pari a 1/3 del volume del cilindro con stessa area di base e stessa altezza :)

[fausto1947]

Grazie.
Si, sono soluzioni già più facilmente spiegabili ad uno studente delle medie.
Fausto

[axpgn]

Sinceramente tra il principio di Cavalieri e gli integrali come somma di infiniti pezzi non è che ci veda chissà quale differenza
Quello che ti ha spaventato è la certosina formalizzazione di sellacollesella

[sellacollesella]

In verità non so nemmeno io perché abbia risposto a questa domanda, forse perché mi piace l'effetto sorpresa (per così dire) dei metodi numerici. Il principio di Cavalieri l'ho conosciuto la prima volta leggendo qui per conto mio, ma sinceramente non credo di averne colto il senso, dato che nella mia testa mi suona come un atto di fede, ossia fidati che è così, boh!

Alle scuole medie, ben pensandoci, credo che le uniche dimostrazioni viste (da noi) siano quella del teorema di Pitagora fatta con carta e forbici e quella per misurare la lunghezza della circonferenza fatta con barattolo cilindrico e spago. Il resto tutto imparato a memoria, con formula diretta e centomila formule inverse.

[@melia]

Ho un vago ricordo di un cono e un cilindro cavi, con ugual base e altezza, si riempiva d’acqua il cilindro e poi si verificava che con quell’acqua si poteva riempire 3 volte il cono.