espressioni con i numeri razionali

[fred63]

Buonasera a tutti!
Ho un problema con alcune espressioni della prima media di cui non riesco a ricordare il procedimento per la loro risoluzione; qualcuno potrebbe spiegarmi le regole per farle?
Eccone alcune :

( 19/24 - 1/2) + (1/5 - 1/30)

(8/3-2)-(1/3-1/6)+4/8-1

5-(13/6+11/8-17/12)-(2+1/6)

GRAZIE ANTICIPATAMENTE

Alfredo

[amelia]

Nonostante la semplicità delle espressioni ci sono molte cose da spiegare per risolverle, ti conviene guardare alcune delle video-lezioni che trovi qui
https://www.matematicamente.it/video_lez ... ritmetica/ sono spiegate in modo molto semplice e con tutti i passaggi. Ciao

[IvanTerr]

I "Numeri Razionali" sono un "allargamento" dei numeri Naturali. Si tratta di una struttura detta "Corpo" che possiede "tutte" le operazioni aritmetiche, tranne "l'estrazione di radici" (a meno che siano "Radici Perfette") e, per tale motivo, subirà (lo vedrai dagli studi di tuo figlio...) un ulteriore "allargamento" nella Struttura dei "Reali", che è la struttura (Insieme sostegno + Operazioni Interne) che possiede i numeri detti "Irrazionali" e "Trascendentali" e nella quale esistono operazioni come "Limiti, Derivate, Integrali". Per particolari applicazioni (Elettrostatica, Elettromgnetismo, Vettori, ecc...) sempre se tuo figlio amerà queste astrazioni della mente, vedrai che il campo dei Reali subirà un altro "allargamento" divenendo "Campo dei Complessi" che è la matematica che ci ha permesso di spiegare fenomeni come quelli citati. In aggiunta a questa brevissima premessa, c'è da dire che gli stessi numeri Naturali possono essere "pensati" come Razionali: sia, ad esempio, 3 il numero Naturale, il corrispondente Razionale è $3/1$, e, in generale, ogni $n in N$ (il simbolo $in$ si legge: "Appartenente a...") può, quindi, essere rappresentato come Razionale, per questo si parla di "allargamento". Due teoremi, che premetto come memorandum, sono che "qualunque Numero diviso sè stesso dà come risultato 1" e "qualunque numero, moltiplicato per 1 è ancora sè stesso", pertanto il numero 3 potrà assumere diverse forme a seconda di per quale "1" viene moltiplicato o diviso. Così $3*1=3*4/4=12/4$ che è un Razionale "Improprio" e che è un 3 "travestito", oppure $3*1=3*111/111=333/111$, che rimane sempre 3. Fatte queste doverose premesse, vediamo la Somma di due Razionali qualunque: indicheremo con $a/b$ il primo Razionale e $c/d$ il secondo. Iniziamo a vedere la somma facendo delle "ipotesi": 1) "Se esiste la Somma" (non ne siamo certi, inizialmente...), vogliamo sperare che sia ancora un Razionale (cioè rappresentabile con una Frazione con un Naturale al numeratore ed un altro Naturale al denominatore). Indichiamo con $S$ tale somma e scriviamo: $(1)\ S=a/b+c/d$; che accade se moltiplico entrambi i membri dell'uguaglianza per un valore qualunque? Nulla! E' come se aggiungessi sui due piatti opposti di una bilancia un uguale peso: la bilancia non si sposta. Allora moltiplico entrambi imembri per $b$, così la frazione $a/b$ diventerà $a/b*b= a$ per ciò che avevamo detto prima; la nuova situazione è la seguente: $b*S=b*a/b+b*c/d=>b*S=a+b*c/d$. Possiamo ripetere questo artifizio per la seconda frazione moltiplicando stavolta per $d$ : $d*b*S=d*a+d*(bc)/d=>bdS=ad+bc$. Se dividiamo adesso primo e secondo membro per il prodotto $b*d$ otteniamo: $(bdS)/(bd)=(ad+bc)/(bd)=>\ (2)\ S=(ad+bc)/(bd)$; dall'uguaglianza della (1) con la (2), possiamo infine affermare che la Somma cercata è $a/b+c/d=(ad+bc)/(bd)\ (3)$. Che accade se $b$ e $d$ sono uguali? Proviamo a riscrivere la (3) con questa ipotesi $(ad+bc)/(bd)=>(ab+bc)/b^2=>(b*(a+c))/b^2=>(a+c)/b$. Osserviamo: il numeratore $(ad+bc)$ è un Naturale (perché Podotto e Somma di Naturali...) e, per lo stesso motivo, $b*d$ è esso stesso un altro Naturale, viene da chiedersi se tra il primo ed il secondo non vi sia qualche ulteriore condizione; ipotizziamo che $n=(ad+bc)$, scomposto in fattori primi, sia $n=r_1^o*r_2^p*r_3^q*..*r_k^z$, dove gli $r_i$ sono i Fattori Primi e $o,p,q,...,z$ sono le volte che compaiono, ad esempio il numero $300=2^2*3^1*5^2$ il fattore primo 2 compare 2 volte, il 3 una volta e il 5 due volte. Il Denominatore, a meno che non sia un numero primo, sarà esso stesso scomponibile in fattori primi, ne deriva che, se al numeratore compaiono fattori comuni anche al denominatore, questi possono essere eliminati. Esempio: sia la frazione $128/80$, scomponendo in fattori primi numeratore e denominatore si ha: $120=2^3*3*5$, mentre $80=2^4*5$, pertanto se scriviamo la frazione $120/80=(2^3*3*5)/(2^4*5)=2^3/2^4*3*5/5=1/2*3*1=3/2$ essa si "riduce", come si dice, ai "minimi termini". La Sottrazione tra Razionali, essendo una Somma di un Razionale per l'Opposto di un altro, segue le stesse regole viste. Esaminiamo il Prodotto di Razionali. Siano ancora $a/b$ e $c/d$ i nostri due razionali che vogliamo moltiplicare e seguiamo lo stesso procedimento, si ottiene $P=a/b*c/d$; moltiplico per b:$b*P=b(a/b*c/d)=(a*c/d)$, moltiplico per d: $d*b*P=d*(a*c/d)=a*c$, divido primo e secondo membro per $d*b$: $(d*b*P)/(d*b)=(a*c)/(d*b)$ da cui la regola: "Il prodotto di due razionali è ancora un razionale che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori". A differenza di questa regola per il prodotto, non abbiamo dato la definizione per la Somma perché a parole è più difficile di quanto non sia in realtà.
Vediamo il caso della Divisione: siano ancora $a/b$ e $c/d$ i due Razionali e sia $D=(a/b)/(c/d)$ l'operazione di cui si vuole trovare il risultato. Liberiamoci di un pò di frazioni e moltiplichiamo (applichiamo la Legge Invariantiva $1=b/b$..) numeratore e denominatore per $b$: $D=(b/b)*(a/b)/(c/d)=a/(b*(c/d))$; moltiplichiamo ancora "sopra e sotto" per $d/d$ per liberarci di un altro segno di frazione: $D=(d/d)*a/(b*(c/d))=(da)/(d*(b*(c/d)))=(da)/(bc)$; se scriviamo: $D=(ad)/(bc)$ ci potremo accorgere (forse...) che il termine $d/c$ è l'Inverso di $c/d$ e potremo concludere che la Divisione tra Razionali è ancora un Razionale che si ottiene moltiplicando il primo per l'Inverso del secondo. (Ci siamo quasi...) Ancora poche cose: 1) In una espressione aritmetica vanno eseguite prima le Operazioni tra parentesi tonde e, se non ce ne sono, hanno priorità i Prodotti e le Divisioni; perché? Immagina di avere l'operazione seguente: $3+4*2$ eseguendo le operazioni a partire da sinistra si ha: $7*2=14$ ed è errata perché l'addendo NON è 4, ma 2 volte 4; infatti, se ricordi, il Prodotto non è altro che una Somma (2*4 = 2 + 2 + 2 + 2) pertanto va prima ottenuto il numero effettivo (8 in questo caso) e poi lo puoi sommare al 3.
Spero di esserti stato utile.

[IvanTerr]

( 19/24 - 1/2) + (1/5 - 1/30)
Una sola soluzione come esempio, per il resto applica quanto sopra.
$(19/24-1/2)+(1/5-1/30)$
$((2*19)-(1*24))/(24*2)+((30*1)-(1*5))/(5*30)$ (Ho applicato la Somma di Razionali senza utilizzare il m.c.m.)
$(38-24)/48+(30-5)/150$ (..semplice, ti pare?)
$14/48+25/150$ (eseguo un pò di semplificazioni..) $14/48=(2*7)/(2^4*3)=7/24$; per l'altro è $25/150=5^2/(2*3*5^2)=1/6$
$7/24+1/6=((6*7)+(1*24))/(24*6)=66/144=(2*3*11)/(2^4*3^2)=11/24$