due quesiti poligoni iscritti e circoscritti classe 1° media

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Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questi due quesiti?

1) Verifica che il lato di un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza è il doppio di quello del triangolo equilatero iscritto.

2) Verifica che in un triangolo ABC rettangolo in B, il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa, il vertice B e i punti medi dei cateti stanno sulla stessa circonferenza.

grazie comunque

[adaBTTLS]

il primo mi sembra semplice, ma il secondo, sei certo che è da prima media?
io provo a suggerirti qualcosa, poi vedi di ragionarci un po':

1) disegna una circonferenza, un triangolo equilatero circoscritto ed il triangolo avente come vertici i punti di tangenza... è anch'esso equilatero, e divide l'altro in quattro triangoli congruenti (uguali).... ci sei?

2) disegna il triangolo e prendi i punti che ti dice il testo del quesito. traccia l'altezza BH relativa all'ipotenusa ed il segmento MN che unisce i punti medi dei cateti...
come sono questi due segmenti (reciprocamente)? il punto d'intersezione ha qualche proprietà particolare? come divide l'altezza relativa all'ipotenusa?
se unisci i punti medi dei cateti con il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa come sarà il nuovo triangolo MNH ?

spero di essere stata utile. ciao.

[@melia]

Sono un po' incerta su che cosa significa "verificare", potrei dimostrare questi problemi con la geometria sintetica, ma non credo che tu li potresti capire, ti mancano almeno tre anni di geometria per farlo.

1. Se verificare significa controllare in modo grafico e un po' ragionato allora penso che almeno il primo problema sia abbastanza semplice:
disegna una circonferenza e il triangolo equilatero ABC circoscritto ad essa, ogni lato del triangolo nel suo punto medio è tangente alla circonferenza, congiungi i tre punti di tangenza DEF. Indica con D il punto medio di AB, con E quello di BC e con F quello di AC. La nuova figura che ottieni è il triangolo DEF. Considera ora il triangolino ADF, è equilatero perchè ha un angolo di 60° e due lati uguali alla metà di AB, quindi anche DF è la metà di AB. Allo stesso modo verifichi che ED e EF sono la metà dei lati del triangolo ABC, quindi DEF è equilatero e i suoi lati sono la metà di quelli del triangolo di partenza.

2. per il secondo problema invece è un po' più difficile. Stabilito che per tre punti non allineati passa sempre una unica circonferenza e che la circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo ha l'ipotenusa come diametro, disegna la circonferenza passante per B e per i punti medi M e N dei cateti. Il triangolo BMN è rettangolo e quindi il centro del cerchio si trova nel punto medio di MN. Quello che resta da controllare è che anche il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa appartiene alla ciconferenza.
Quest'ultimo punto mi pare un po' difficile da esprimere a parole, prova a verificare se hai capito fino a qui e poi ne parliamo.

[cifra56]

Credo che questo tipo di impostazione basti, sensa geometria sintetica!

Nel n.2 ero anch'io orientata più o meno sul fatto che "in tre punti non allineati passa una sola circonferenza" ma non riuscivo a focalizzare il ragionamento.
Nel n.1 invece proprio non mi trovavo.

Nel mio libro di testo ci sono parecchi esercizi impostati in questo modo ma io non riesco a riorganizzare le conoscenze in questo tipo di ragionamenti.
Forse con l'esercizio...
Comunque grazie, ho trovato la spiegazione molto utile.

[@melia]

Prego