[EX] Un Problema di Minimo

[gugo82]

Ripropongo anche qui un esercizio che ho lasciato in English Corner ma che può essere preso come spunto per l'applicazione delle tecniche del Calcolo Differenziale a problemi provenienti da altre discipline.

***

Esercizio:

Siano $x_1 <= ... <= x_N$ numeri reali (non necessariamente distinti a due a due) ordinati in maniera non decrescente.

1. Dimostrare che la funzione $f(t) := 1/N sum_(n=1)^N |x_n - t|$ è convessa in $RR$ e dotata di minimo assoluto.

2. Determinare i valori $x^**$ che forniscono il minimo ad $f$ e calcolare $f(x^**) = min_(t in RR) f(t)$.

3. Dimostrare che la funzione $g(t) := 1/N sum_(n=1)^N (x_n - t)^2$ è strettamente convessa in $RR$ e dotata di un unico punto di minimo assoluto.

4. Determinare il valore $hat(x)$ che fornisce il minimo a $g$ e calcolare $g(hat(x)) = min_(t in RR) g(t)$.

5. Confrontare i valori $f(x^**)$ e $g(hat(x))$: qual è più grande?

6. Le funzioni $f$ e $g$, nonché i valori $x^**$ ed $hat(x)$, hanno tutti immediati significati statistici: quali sono?

[mgrau]

Così, a occhio, non mi sembra la sezione giusta...
E mi pareva anche che il crossposting fosse vietato... (anche se non ho mai capito perchè)

[gugo82]

-.-"

Effettivamente, non sapevo se proporlo anche agli studenti in Secondaria o lasciarlo come spunto ai docenti in Didattica.
Lo sposto nella seconda.

Poi vorrei capire perché non sembrano le sezioni giuste... Sono problemi elementari di Calcolo Differenziale, adatti/adattabili all'ultimo anno di liceo; tra l'altro, per il primo non serve nemmeno strettamente il Calcolo, ma basta ragionare.

Per quanto riguarda il crossposting, è chiaro che l'intenzione del post nelle due sezioni è totalmente differente.

[Bokonon]

tra l'altro, per il primo non serve nemmeno strettamente il Calcolo, ma basta ragionare.

Vale anche per il secondo

[gugo82]

tra l'altro, per il primo non serve nemmeno strettamente il Calcolo, ma basta ragionare.

Vale anche per il secondo

Già, ma almeno non c’è il valore assoluto che rompe le scatole se proprio si vuole derivare…

[gugo82]

Esercizio:

Siano $x_1 <= ... <= x_N$ numeri reali (non necessariamente distinti a due a due) ordinati in maniera non decrescente.

1. Dimostrare che la funzione $f(t) := 1/N sum_(n=1)^N |x_n - t|$ è convessa in $RR$ e dotata di minimo assoluto.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ognuna delle funzioni $t |-> 1/N |x_n - t|$ è convessa, perché ottenuta dalla funzione valore assoluto $t |-> |t|$ mediante simmetria ($S_y : t = -t'$), traslazione ($T_(x_n): t' = t'' - x_n$) e riscalamento secondo una costante positiva ($R: y = Ny'$).
La $f$ è somma delle $N$ funzioni convesse $t |-> 1/N |x_n-t|$, quindi è convessa.

Visto che la funzione è convessa e che $lim_(t -> +- oo) f(t) = +oo$, la $f$ prende sicuramente minimo assoluto in qualche punto di $RR$.

2. Determinare i valori $x^**$ che forniscono il minimo ad $f$ e calcolare $f(x^**) = min_(t in RR) f(t)$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si potrebbero usare, con un po' di pazienza, i teoremi classici del Calcolo Differenziale... Tuttavia basta ragionare come segue.
Supponiamo per semplicità che i valori $x_1, ..., x_N$ non siano ripetuti, cioè che $x_m != x_n$ per ogni coppia di indici $m != n$. Preso un valore di $t < x_2$, la funzione $f$ calcolata in $t$ vale:

$f(t) = 1/N [ |x_1 - t| + sum_(n=2)^N (x_n - t)] = \{ (1/N [ (x_1 - t) + (x_2 - t) + ... + (x_N - t)], ", se " t < x_1), (1/N [ (t - x_1) + (x_2 - t) + ... + (x_N - t)], ", se " x_1 <= t < x_2):}$

e da ciò si vede che:

• quando facciamo tendere $t -> x_1^-$, tutti gli addendi di cui è formata $f$ diminuiscono,
  
  
• quando $t=x_1$, il primo addendo è nullo e gli altri sono ancora diminuiti,
  
  
• quando $t>x_1$ e $t -> x_2^-$, i primi due addendi hanno somma costante (uguale a $x_2 - x_1 > 0$) e gli altri $N-2$ diminuiscono;

ora, in maniera del tutto analoga, se prendiamo $x_2 <= t < x_3$ l'espressione di $f$ diventa:

$f(t) = 1/N [ (t-x_1) + (t - x_2) + (x_3 - t) + ... + (x_N-t)] = 1/N [(-x_1-x_2+x_3+...x_N) - (N-2) t]$

e quando facciamo tendere $t -> x_3^-$ la somma diminuisce...
Ragionando nell'altro verso, prendiamo $t >= x_(N-1)$ abbiamo:

$f(t) = \{ (1/N [(t-x_1) +... + (t-x_(N-1)) + (t - x_N)], ", se " t>= x_N), (1/N [(t-x_1) +... + (t-x_(N-1)) + (x_N - t)], ", se " x_(N-1) <= t < x_N):}$

osserviamo che:

• quando facciamo tendere $t -> x_N^+$, tutti gli addendi di cui è formata $f$ diminuiscono,
  
  
• quando $t=x_N$, l'ultimo addendo è nullo e gli altri sono ancora diminuiti,
  
  
• quando $t<x_N$ e $t -> x_(N-1)^+$, gli ultimi due addendi hanno somma costante (uguale a $x_N - x_(N-1) > 0$) e gli altri $N-2$ diminuiscono;

ora, in maniera del tutto analoga, se prendiamo $x_(N-2) <= t < x_(N-1)$ l'espressione di $f$ diventa:

$f(t) = 1/N [ (t-x_1) + ... + (t - x_(N-2)) + (x_(N-1) - t) + (x_N-t)] = 1/N [(-x_1-... -x_(N-2)+ x_(N-1) + x_N) + (N-2) t]$

e quando facciamo tendere $t -> x_(N-2)^+$ la somma diminuisce...
Questo significa che il minimo della funzione $f$ è assunto nei valori di $t$ che si trovano "al centro" tra i punti $x_1, ..., x_N$, ossia in quei valori di $t$ che hanno alla loro sinistra tanti elementi dell'insieme $\{ x_1, ... , x_N\}$ quanti ne hanno alla loro destra.

Ora, se gli $x_n$ sono in numero dispari, i.e. se $N$ è dispari, allora l'unico punto $t$ che è "al centro" degli $x_1, ..., x_N$ è l'elemento centrale, quindi il punto che dà il minimo ad $f$ è:

$x^** = x_((N+1)/2)$

ed il minimo è:

$f(x^**) = 1/N [sum_(n<(N+1)/2) (x_((N+1)/2) - x_n) + sum_(n > (N+1)/2) (x_n - x_((N+1)/2))]$

e visto che le due somme contengono lo stesso numero di addendi si determina una semplificazione massiccia che fornisce:

$f(x^**) = min_(t in RR) f(t) = 1/N [- x_1 - ... - x_((N-1)/2) + x_((N+3)/2) + ... + x_N]$.

Se, invece, gli $x_n$ sono in numero pari, i.e. se $N$ è pari, il minimo di $f$ è assunto in qualche valore di $t$ che si trova tra i due elementi centrali, ossia per qualche $x_(N/2) <= t <= x_((N+2)/2)$. Fissato che sia un tale numero $t$, osserviamo che:

$f(t) = 1/N [sum_(n<= N/2) t-x_n + sum_(n>= (N+2)/2) x_n - t]$

e che le due somme hanno esattamente lo stesso numero di addendi, sicché i termini in $t$ semplificano e risulta:

$f(t) = 1/N [-x_1-...-x_(N/2) + x_((N+2)/2) + ... + x_N] = "costante"$;

ne viene che tutti i punti $x_(N/2) <= x^** <= x_((N+2)/2)$ danno il minimo ad $f$ e tale minimo è:

$f(x^**) = min_(t in RR) f(t) = 1/N [-x_1-...-x_(N/2) + x_((N+2)/2) + ... + x_N]$.

Quando tra gli $x_n$ ci sono elementi ripetuti, il ragionamento si può ripetere alla stessa maniera, avendo l'accortezza di riscrivere la legge di assegnazione di $f$ accorpando i termini simili.
Quindi in ogni caso il minimo di $f$ è preso nei valori "al centro" degli elementi $x_1, ..., x_N$.

3. Dimostrare che la funzione $g(t) := 1/N sum_(n=1)^N (x_n - t)^2$ è strettamente convessa in $RR$ e dotata di un unico punto di minimo assoluto.

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La $g$ è somma di funzioni quadratiche strettamente convesse, dunque è anch'essa strettamente convessa.

Dato che $lim_(t -> +-oo) g(t) = +oo$, la $g$ è dotata di minimo assoluto.
Per stretta convessità, tale minimo è preso in un unico punto.

4. Determinare il valore $hat(x)$ che fornisce il minimo a $g$ e calcolare $g(hat(x)) = min_(t in RR) g(t)$.

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Questa cosa si può fare in molti modi.
Quello più elementare, forse, consiste nello sviluppare i quadrati e riordinare, in modo da rendersi conto che il grafico di $g$ è una parabola nella forma $g=at^2 + bt +c$ con:

• $a := 1$,
  
  
• $b := - 2/N sum_(n=1)^N x_n$,
  
  
• $c := 1/N sum_(n=1)^N x_n^2$;

e, dato che una parabola convessa prende minimo nel vertice, troviamo:

$hat(x) = -b/(2a) = 1/N sum_(n=1)^N x_n$

ed anche:

$g(hat(x)) = min_(t in RR) g(t) = 1/N sum_(n=1)^N x_n^2 - 1/N^2 sum_(n=1)^N x_n^2$.

6. Le funzioni $f$ e $g$, nonché i valori $x^**$ ed $hat(x)$, hanno tutti immediati significati statistici: quali sono?

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Il valore $f(t)$ è il cosiddetto scarto medio, cioè la media degli errori assoluti che si commettono approssimando gli $x_1,...,x_n$ con un numero $t in RR$, mentre $g(t)$ è il quadrato dello scarto quadratico medio, cioè la media dei quadrati degli errori che si commettono approssimando gli $x_1,...,x_n$ con un $t in RR$.

I valori $x^**$ che danno il minimo ad $f$ sono le mediane degli $x_1,..,x_n$, mentre il valore $hat(x)$ che dà il minimo a $g$ è la media (aritmetica) degli $x_1,...,x_n$.

Conseguentemente, il valore $g(hat(x))$ è la varianza degli $x_1,...,x_n$ e la sua radice, i.e. $sqrt(g(hat(x)))$, è la deviazione standard.