Derive può sbagliare?

[Cod]

Ragazzi ma questo programma è infallibile o no?

Ad esempio: inserisco la funzione x^(2/3) ovvero $root(3)(x^2)$, e il grafico che me ne viene fuori risulta definito solo per x>0, mentre ciò non è vero...

[ButterBean88]

usa Maple...

[5InGold]

La potenza con in esponente razionale è definita solo per basi non negative e quindi le funzioni $x^{2/3} $ e $ \root(3)(x^2)$ hanno domini diversi.

[Gaal Dornick]

In genere $f(x)=x^alpha$ con $alpha in RR$ è definita solo per $x>0$
Da qui il comportamento di Derive.

Poi in alcuni particolari casi la si può estendere anche a domini più grandi, ma solo in particolari casi..
Non conosco i comandi del Derive, ma una situazione analoga è in Maple..

[ButterBean88]

fatto sta che in questo caso i programmi cadono in errore a causa di impostazioni non sufficientemente dinamiche. Infatti il dominio della funzione proposta è tutto R.

Si evita la possibilità di basi negative nelle potenze razionali per evitare antinomie come questa:

$-2=-2^(1)$ può essere scritto come $(-2)^(2/2)$ da cui anche $((-2)^2)^(1/2)=2$

[dissonance]

La storia è questa: in generale questi programmi considerano di lavorare nel campo complesso, e considerano le radici come radici principali. Mi spiego con un esempio: $2^(1/3)$ è $(2e^(0i))^(1/3)=root(3)(2)*(e^(0i))^(1/3)$ e $(e^(0i))^(1/3)=e^((0/3)i)$. Quindi nessun problema: otteniamo ancora un numero reale perché $0/3=0$.
Ma altra storia sono i numeri negativi: $-2=2e^(pii)$, quindi $(-2)^(1/3)=root(3)(2)e^(pi/3i)$, che non è un numero reale e da qui il rifiuto di plottarlo.

In Maple e in Mathematica si può ovviare a questo problema caricando il pacchetto RealOnly o RealDomain (non mi ricordo quale dei due sia di Maple e quale di Mathematica). Questi pacchetti fanno sì che tutti i numeri siano intepretati come reali, non come complessi, e le operazioni sono affrontate di conseguenza. Ad esempio, dire $(-1)^(1/2)$ risulterà in un messaggio di errore.

Sono sicuro che esiste un pacchetto del genere anche in Derive. Altrimenti, ci deve essere una funzione "radice reale" (in Maple si chiama SURD, se non sbaglio), o ancora puoi implementare le radici di indice dispari usando la disparità, con stratagemmi tipo:
$root(3)(x)="sign"(x)root(3)(|x|)$, che non ti dà problemi perché hai sotto radice solo numeri positivi.

Comunque se guardi sulla guida in linea sono sicurissimo che troverai informazioni al riguardo.

[gugo82]

La potenza con in esponente razionale è definita solo per basi non negative e quindi le funzioni $x^{2/3} $ e $ \root(3)(x^2)$ hanno domini diversi.

Ma questa è una delle corbellerie più grosse che ho letto da diverso tempo a questa parte...

[Tipper]

A dire la verità, pure io sapevo che le potenze ad esponente non intero sono (anzi erano, a questo punto...) definite solo per basi positive. Ma poco male, avrò creduto ad una corbelleria... Ora, però, mi sorge una domanda: cos'è che non va, allora, in questi passaggi?

$-1 = \root[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \root[6]{(-1)^2} = \root[6]{1} = 1$

[gugo82]

Scusate, ma state impazzendo?
Che la funzione $f(x):=x^(1/3)$ è forse definita solo per $x>=0$???

Visto che ci sono, ricordo un po' come stanno le cose per la funzione potenza ad esponente razionale.
Sia $p/q \in QQ\setminus \{0\}$ una frazione ridotta ai minimi termini, ossia con $p\in ZZ\setminus \{0\}$ e $q\in NN\setminus \{0\}$ coprimi. Distinguiamo i casi:

a) $p>0$ e $q " dispari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in tutto $RR$;

b) $p>0$ e $q " pari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $[0,+oo[$;

c) $p<0$ e $q " dispari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $RR\setminus \{0\}$;

d) $p<0$ e $q " pari"$: la funzione potenza $x^(p/q)$ è definita in $]0,+oo[$.

La restrizione sul fatto che $p/q$ abbia da essere r.m.t. si può anche eliminare.
Ragazzi, sono le basi... dai non scherzate.

Le uniche difficoltà nel definire le potenze si incontrano quando si voglia definire la potenza ad esponente irrazionale: in tal caso, e solo in tal caso, si deve restringere "a priori" il dominio della funzione a $[0,+oo[$ o $]0,+oo[$ a seconda che l'esponente sia positivo o negativo.


P.S.: Il passaggio "illecito" nella scrittura di Tipper è il terzo: infatti per la b) non ha senso calcolare $(-1)^(2/6)$.

[Tipper]

E dunque non è vero che $(-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}}$...