chi è $dx$?

[Luca.Lussardi]

Concordo.

[ViciousGoblin]

Vi confesso che ho sempre considerato $dx$ come un indicatore per la variabile di integrazione - come l'indice della sommatoria.
In effetti io scrivo (da anni) $\int_A f$ oppure $\int_Af(x)dx$ e "percepisco" errato $\int_Af dx$ (anche se a volte sono costretto a usarla per formule complicate).
Certo c'e' anche la questione della misura rispetto a cui si integra (in quei casi tendo a scrivere $\int_Af dm$ dove $m$ e'... e, rare volte, uso espressioni del tipo
$\int_Af(x,y)dm_x$. Contorsionismi - d'altra parte la lingua formale perfetta e' un'utopia.

[Fioravante Patrone]

@Sidereus

Grazie per la lezioncina di analisi.
E grazie per aver citato una mia frase modificandola (lievemente) e decontestualizzandola.

Se ti fa stare meglio, sono d'accordo anch'io che vale la pena metterci $d \mu$, se serve (non faccio neanche fatica ad aggiungere che, ad esempio, il "formalismo" dei dx e dy è utile come nodo al fazzoletto per gli integrali multipli). Se uno usa $I(f,E,\mu)$ non mi spiace affatto, se è utile nel contesto. Dopotutto proprio ieri stavo spiegando a lezione l'utilità attesa di una lotteria, che non è altro che un integrale fatto rispetto ad una misura sullo spazio degli esiti che varia in dipendenza della scelta fatta dal decisore...
Peccato che laddove dicevo quanto hai citato era ovvio che c'era una e una sola misura coinvolta. E l'integrale di L, per non parlare di RN, erano lontani anni luce.

Se poi tu pensi che l'uso del dx in analisi elementare sia fatto per tenere a mente che si sta usando la misura rispetto cui si sta integrando (che è sempre la stessa), temo che tu sia fuori strada.
E' comodissimo per ricordarsi in pratica le formule di integrazione per sostituzione (soprattutto) e per parti. Spero che tu non pensi di introdurre l'integrazione per sostituzione in un corso del primo anno via RN.

.... molto meglio $int_E f$, dove $E$ e' l'insieme su cui vogliamo integrare la $f$

...

Temo che l'omissione di $dx$ o di $d\mu$ renda le espressioni integrali incoerenti con le unità di misura utilizzate. E' il modo migliore per farsi ridere dietro dai fisici e dagli ingegneri.

Quanto al farmi ridere dietro da ingegneri e fisici, penso che dovrò attendere la mia futura reincarnazione.
E, per quanto mi riguarda, ho l'impressione che normalmente i matematici quando pensano ad un elemento di $RR$ non pensino a metri, secondi, pecore, Joule, etc... Io non ho presente libri di analisi in cui sia scritto che $\int_0^1 x \ dx = 1/2 \ m^2$.

Cheers

[GIBI]

“L'omissione di $dx$ o di $dμ$ non mi pare affatto una buona idea . . . . E' il modo migliore per farsi ridere dietro dai fisici e dagli ingegneri”.

Non so i fisici, ma come ingegnere ti dico che la notazione “Fioravante” $∫_Ef$ l’ho sempre trovata comodissima
da quando, tanto ma tanto tempo fa in quel di Pavia, l’appresi nel corso di Metodi matematici.

E poi, quello sgorbio di notazione $dx$ ha fatto perdere tanto di quel tempo alle persone (me compreso) che meno si usa meglio è.

[Sidereus]

Grazie per la lezioncina di analisi.

Non intendevo polemizzare né fare una lezione a una persona di cui ho la massima stima.
Chiedo venia.

...Peccato che laddove dicevo quanto hai citato era ovvio che c'era una e una sola misura coinvolta. E l'integrale di L, per non parlare di RN, erano lontani anni luce.

Avevo capito benissimo che era sottintesa una misura. Tuttavia, supporre che esista una e una sola misura, anche nell'ambito dell'integrale elementare di Riemann, non permetterebbe di giustificare il cambio di variabili nel calcolo.
Se ogni intervallo chiuso e limitato in $RR$ si può misurare solo in un modo, allora scrivere che

$int_a^b f(x) dx = int_\alpha^\beta f(x(t)) x'(t) dt$

comporterebbe che x'(t) = 1 necessariamente.
Se invece ammettiamo di poter cambiare variabile, allora le possibili misure sono infinite, pari almeno al numero di funzioni differenziabili e invertibili $x(t): [\alpha,\beta] \to [a,b]$, e quindi la misura $dx$ si può sostituire con la misura $x'dt$. Ciò non si potrebbe fare se in $RR$ esistesse una e una sola misura (avremmo in tal caso $dx=dt$ sempre).

...
Quanto al farmi ridere dietro da ingegneri e fisici, penso che dovrò attendere la mia futura reincarnazione.
E, per quanto mi riguarda, ho l'impressione che normalmente i matematici quando pensano ad un elemento di $RR$ non pensino a metri, secondi, pecore, Joule, etc... Io non ho presente libri di analisi in cui sia scritto che $\int_0^1 x \ dx = 1/2 \ m^2$.
Cheers

Ribadisco che non volevo polemizzare.
Penso che la matematica del ventesimo secolo sia stata eccessivamente improntata sul formalismo hilbertiano, che ha le sue ragioni. Tuttavia, ha anche prodotto due o tre generazioni di matematici che non capiscono più la fisica né nessun'altra scienza (non mi riferisco a te, sia chiaro).
Non so se Hilbert lo avrebbe approvato, ma sono abbastanza sicuro che Poincaré o Brouwer avrebbero trovato orribile un integrale senza $dx$.
Complimenti per l'interessantissima discussione
Salute

[Sidereus]

“L'omissione di $dx$ o di $dμ$ non mi pare affatto una buona idea . . . . E' il modo migliore per farsi ridere dietro dai fisici e dagli ingegneri”.

Non so i fisici, ma come ingegnere ti dico che la notazione “Fioravante” $∫_Ef$ l’ho sempre trovata comodissima
da quando, tanto ma tanto tempo fa in quel di Pavia, l’appresi nel corso di Metodi matematici.

E poi, quello sgorbio di notazione $dx$ ha fatto perdere tanto di quel tempo alle persone (me compreso) che meno si usa meglio è.

Chiedo venia anche a te

[Fioravante Patrone]

Salute

Ok, ora che ci siamo sbronzati, due parole in più.

Una considerazione riguarda gli aspetti comunicativi. Mi sono "irritato" perché hai iniziato con una citazione da un mio post e quindi il tuo post, anche per l'incipit, appariva come una critica rispetto a posizioni da me assunte. Visto che non le avevo assunte, mi sono "irritato". E, come hai visto, non ho avuto scrupoli a rispondere a tono.


Sul merito della questione, vedo che sostieni la lettura del teorema di integrazione per sostituzione come teorema sul cambio di misura d'integrazione (RN...).
E' ovviamente una "lettura" possibile, ma non credo che sia tradizionale quando si lavora in una sola variabile. Anche perché la derivata può essere negativa, e allora ci sono le misure con segno. Didatticamente, credo sia più opportuno mostrare questa angolazione quando si lavora con funzioni di più variabili o, ancor meglio, quando si fanno gli integrali di linea.
Mi piacerebbe sapere se qualcuno lo presenta così (o se gli è stato presentato così), come cambio di misura.

[Sidereus]

Sul merito della questione, vedo che sostieni la lettura del teorema di integrazione per sostituzione come teorema sul cambio di misura d'integrazione (RN...).

Non esattamente. L'esempio del cambio di variabili l'ho preso come una particolare istanza di una delle possibili semantiche del linguaggio formale che chiamiamo "teoria dell'integrazione di Riemann".
Se scriviamo l'integrale senza dx, a me viene in mente una serie e non una somma su un insieme che ha la potenza del continuo. Un insieme che ha la potenza del continuo non ha punti (per i quali dx non serve), ma "nuvole" di numeri equipotenti a un segmento di retta. Basta pensare a che cosa sono realmente i numeri reali per rendersene conto. Eliminare dx rende il linguaggio formale della teoria dell'integrazione uguale a quello delle serie. Non mi pare che si possa accettare. Non c'entra nemmeno la matematica, è proprio un errore di logica.

p.s. Purtroppo la mia forma mentis è tipicamente intuizionista, nonostante all'università abbia fatto un'indigestione di formalismo. Tutti i libri di analisi che andavano per la maggiore cominciavano con l'elenco degli "assiomi" sui numeri reali. A me un elenco di assiomi non dice proprio nulla. Ho creduto ai numeri reali perché il mio insegnate al liceo (classico, sic!) mi fece vedere come si fa a costruirli. Poi ho visto come si fa a completare uno spazio metrico, ma è più o meno la stessa cosa che diceva Dedekind. Gli assiomi che accetto sono solo quelli dei numeri naturali; le altre classi di numeri o si costruiscono, o non sono.

[mircoFN]

Intervengo in questa lunga discussione con un po' di timore.

Sono sempre stato d'accordo con Fioravante, che tra l'altro apprezzo e stimo tantissimo (non solo per le sue competenze matematiche), ma in questo caso devo dire che la penso come Sidereus.
La mia motivazione è legata all'uso prevalentemente 'fisico' che faccio dell'integrale. Per me l'aspetto della coerenza dimensionale dei membri dell'uguaglianza è predominante rispetto alla considerazione sull'operazione di estrazione della primitiva.
In un certo senso 'credo' più all'integrale definito che a quello indefinito.

Non me ne voglia Fioravante e con lui i puristi della matematica. Tuttavia, se calcolo il flusso di un campo elettrico (o più semplicemente uno spostamento dalla velocità) devo essere sicuro di non scrivere, nemmeno formalmente, che $1V/m=1V*m$ (o che $1 m/s = 1m$). Forse Fioravante riconoscerà che talvolta il concetto di densità di probabilità viene confuso (parlo didatticamente) con quello di probabilità, temo proprio per una scarsa attenzione alle dimensioni.

Riconosco che vi possono essere altri modi per salvare la coerenza dimensionale (cosa che ai matematici ho talvolta avuto l'impressione interessi pochino, ma a ognuno il suo mestiere), tuttavia non ne vedo molti di tanto semplici come quello del 'dx'.

ciao

[Fioravante Patrone]

Intervengo in questa lunga discussione con un po' di timore.

Credo di capire il tuo punto di vista.
Tra l'altro, l'analisi "dimensionale" io la uso anche dove dimensioni non ce ne sono. Tipo in $p(x) = a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + a_n$. Mi fa comodo pensare come se ci fossero delle dimensioni di mezzo, nascoste fa gli indici
E, in generale, il grado di un polinomio in più variabili, lo "vedo" come una dimensione lineare. E i pezzetti "omogenei", ovvero che hanno la stessa dim complessiva, me li tengo tutti assieme, vicini vicini.
Insomma, ammetto a malincuore di essere uno tei tanti che predicano bene e razzolano male.

Riconosco che vi possono essere altri modi per salvare la coerenza dimensionale (cosa che ai matematici ho talvolta avuto l'impressione interessi pochino, ma a ognuno il suo mestiere), tuttavia non ne vedo molti di tanto semplici come quello del 'dx'.

Mi sa che hai ragione.
Tuttavia...
Se vogliamo tenere conto davvero e per bene delle dimensioni, usiamo i tool disponibili.
Chiedo agli algebristi quale sia lo strumento più appropriato per distinguere mele da pere.
E magari che permetta di poter dire che 1 metro per 1 metro fa 1 metroquadro.
E che spieghi anche come mai il $dx$ funziona bene a questo scopo.

Sul fatto che ai matematici interessi o no la coerenza dimensionale, direi che in quanto matematici in senso stretto non gli dovrebbe interessare (sto un po' estremizzando). Ma se vogliono fare cose utili, può valere la pena formalizzare e usare per bene una analisi dimensionale.


PS: corretta una "erre moscia". Cambierò potatile, prima o poi.