chi è $dx$?

[Sidereus]

Prendo:

$x_n$ così definita:
$1/n$ per n pari
$1/n^2$ per n dispari

$y_n$ così definita:
$1/n^2$ per n pari
$1/n$ per n dispari

$x_n / y_n$ viene:
$n$ per n pari
$1/n$ per n dispari

Quindi non ho "niente", nel senso che la successione che trovo non è né infinitesima né infinita.

Infatti: sono due infinitesimi non confrontabili.

[ViciousGoblin]

Scusa Sidereus, c'e' un punto su cui non sei esplicito - tu menzioni in piu' punti delle successioni equivalenti: di quale equivalenza parli?

Perche' se gli infinitesimi sono le successioni infinitesime, ho capito di cosa parli e posso accettarlo, anche se temo tu non possa fare con questi oggetti tutto quello che vuoi
- cosa vuol dire dividere per un infinitesimo? per esempio se l'infinitesimo e' $\frac{(-1)^n+1}{n}$ ? - due successioni che differiscono su un solo indice sono infinitesimi diversi?

Se invece pensi a successioni modulo qualche relazione di equivalenza mi pare che tu vada verso qualcosa che somiglia all'analisi nonstandard.
Come dicevo, io avevo orecchiato anni fa delle spiegazioni sull'analisi non standard, che mi pare coincidano con quanto spiegato in questo pdf

http://www-1.unipv.it/webphilos_lab/dos ... rreali.pdf

Non so se quanto esposto nel pdf sia equivalente all'approccio originale o ne sia una semplificazione, comunqe cio' che vi trovo scritto mi sembra molto comprensibile e va
esatttamente nella direzione di definire gli iperreali come le successioni modulo una qualche relazione di equivalenza - in particolare due successioni che differiscono per
un numero finito di punti sono equivalenti. Il problema e' che se gli infinitesimi li vogliamo sommare, moltiplicare e DIVIDERE tra loro bisogna che tra le due successioni
$a_n:=\frac{1-(-1)^n}{2}$ e $b_n:=\frac{1-(-1)^{n+1]}{2}$ una delle due sia equivalente a zero (se si vuolei che valga la legge di annullamento del prodotto - nota che $a_n b_n=0$ per ogni $n$).
Per questa strada si arriva agli ultrafiltri (parola che ignoravo fino all'altro giorno fa - a me erano stato spiegato che serve costruire una misura su tutte le parti di $NN$ che e' nulla sulle parti finite e che fa sempre o zero o uno ).

Insisto sul fatto che non voglio criticare - voglio solo capire di cosa stiamo parlando

[Sidereus]

Su questo punto ho già risposto: il prodotto, la somma e la differenza tra infinitesimi produce sempre un infinitesimo.
Il rapporto invece può produrre situazioni diverse. Che esistano coppie di infinitesimi non confrontabili, del tipo di quelle dell'esempio fatto da Fioravante, oppure del tipo $x_n= 1/n sin(n)$ e $y_n =1/n$, significa soltanto che non c'è un ordine totale tra questi oggetti, ma solo parziale.

Io credo che ciò non sia un problema per lo scopo di fondare il calcolo differenziale sugli infinitesimi. E' un problema per chi vuole concepire gli infinitesimi come numeri, senza lasciarli in pace così come l'intuizione li suggerisce: successioni che tendono a 0.
Del resto, ammettiamo tranquillamente che se f e g sono derivabili in x può succedere che f/g non lo sia (cioè quando
g(x)=0). Mica viene meno il concetto di derivata di un rapporto tra funzioni, a causa di questo fatto.

p.s. Due successioni di Cauchy $x_n$ e $y_n$ sono equivalenti se $x_n - y_n$ è un infinitesimo.

Quindi $e+1/(n!)$ è equivalente a $(1+1/n)^n$, a $e-(sqrtn)/n^3$, a $s_n=1+1/2+1/(3!)+...+1/(n!)$ e anche alla successione costante $x_n=e$.

Lette come successioni, sono diverse. Lette come classi di equivalenza, afferiscono allo stesso oggetto: il numero e.

Le successioni $a_n$ e $b_n$ del tuo esempio non sono successioni di Cauchy. Infatti $|a_n-a_(n+1)|=1$, che non è un infinitesimo. Idem per $b_n$.

<Post corretto dopo la segnalazione di microFN>

[mircoFN]

......
Del resto, ammettiamo tranquillamente che se f e g sono derivabili in x può succedere che f/g non lo sia (cioè quando g'(x)=0). Mica viene meno il concetto di derivata di un rapporto tra funzioni, a causa di questo fatto.
......

Non è che per caso la condizione viene meno quando g(x)=0 mentre la condizione g'(x)=0 non ha un grande effetto sulla derivabilità del rapporto?
Capisco che non stai attento al rigore totale, tuttavia...

[Sidereus]

Certo, per g(x)=0, of course

[Fioravante Patrone]

Prendo:

...

Quindi non ho "niente", nel senso che la successione che trovo non è né infinitesima né infinita.

Infatti: sono due infinitesimi non confrontabili.

Ma infatti, questo dimostra che i "tuoi" infinitesimi non sono quelli dell'analisi non standard.
Non è vero che:
"esiste una completa analogia tra la mia proposta e l'analisi non standard"
Non puoi sostituire Robinson

[ViciousGoblin]

Su questo punto ho già risposto: il prodotto, la somma e la differenza tra infinitesimi produce sempre un infinitesimo.
Il rapporto invece può produrre situazioni diverse. Che esistano coppie di infinitesimi non confrontabili, del tipo di quelle dell'esempio fatto da Fioravante, oppure del tipo $x_n= 1/n sin(n)$ e $y_n =1/n$, significa soltanto che non c'è un ordine totale tra questi oggetti, ma solo parziale.

Io credo che ciò non sia un problema per lo scopo di fondare il calcolo differenziale sugli infinitesimi. E' un problema per chi vuole concepire gli infinitesimi come numeri, senza lasciarli in pace così come l'intuizione li suggerisce: successioni che tendono a 0.
Del resto, ammettiamo tranquillamente che se f e g sono derivabili in x può succedere che f/g non lo sia (cioè quando
g(x)=0). Mica viene meno il concetto di derivata di un rapporto tra funzioni, a causa di questo fatto.

p.s. Due successioni di Cauchy $x_n$ e $y_n$ sono equivalenti se $x_n - y_n$ è un infinitesimo.

Quindi $e+1/(n!)$ è equivalente a $(1+1/n)^n$, a $e-(sqrtn)/n^3$, a $s_n=1+1/2+1/(3!)+...+1/(n!)$ e anche alla successione costante $x_n=e$.

Lette come successioni, sono diverse. Lette come classi di equivalenza, afferiscono allo stesso oggetto: il numero e.

Le successioni $a_n$ e $b_n$ del tuo esempio non sono successioni di Cauchy. Infatti $|a_n-a_(n+1)|=1$, che non è un infinitesimo. Idem per $b_n$.

<Post corretto dopo la segnalazione di microFN>

O.K. dunque due successioni $(a_n)$ e $(b_n)$ sono equivalenti se $a_n-b_n \to 0$. Quindi $1/n$, $1/n^2$ $\frac{1}{n!}$ rappresentano tutte lo stesso infinitesimo - o capisco male?
Sei sicuro che tutti i sostenitori dell $dx$ condividano questa posizione? In questo modo $dx$ e' sostanzialmente un sinonimo di zero.

[Sidereus]

Ma infatti, questo dimostra che i "tuoi" infinitesimi non sono quelli dell'analisi non standard.

Ho detto che sono analoghi, non che sono isomorfi. Si assomigliano per molti aspetti, ma non sono esattamente la stessa cosa.

Non puoi sostituire Robinson

Questo è certo.

[Sidereus]

O.K. dunque due successioni $(a_n)$ e $(b_n)$ sono equivalenti se $a_n-b_n \to 0$. Quindi $1/n$, $1/n^2$ $\frac{1}{n!}$ rappresentano tutte lo stesso infinitesimo - o capisco male?

No. Presi singolarmente sono infinitesimi distinti (cioè sono funzioni diverse). Però appartengono tutti a una stessa classe di equivalenza, cioè il numero reale 0.
Pensa per esempio alla somma dei numeri razionali $1/2 + 2/3$.

Quando scriviamo

$1/2+1/3=3/6+2/6=5/6$

stiamo dicendo che la coppia di interi (1,2) è equivalente alla coppia di interi (3,6), e che la coppia di interi (1,3) è equivalente alla coppia di interi (2,6), per cui possiamo eseguire l'addizione sostituendo le coppie iniziali con le altre.
Sono equivalenti, non uguali. La coppia (1,2) mica è uguale alla coppia (3,6).

In modo analogo, $1/n$, $1/n^2$ $\frac{1}{n!}$ non sono infinitesimi uguali, ma equivalenti sì.

Sei sicuro che tutti i sostenitori dell $dx$ condividano questa posizione?

Non ne ho la più pallida idea. Mi sono fatto da solo queste considerazioni e non ne ho mai parlato con nessuno.

[ViciousGoblin]

Scusa se sembro pedante - se vuoi smettiamo ....

Ma $dx$ e' qualcosa ? Come $1$ e' un simbolo che identifica (???) un numero , $dx$ cosa mi rappresenta ?
Non ho capito se e' una "parola evocativa" che sottintende che certe eguaglianze valgono per ogni successione/funzione infinitesima
(un elemento del linguaggio che sottintende infinite frasi ?? - ma anche cosi' come funziona esattamente)
Oppure e' un oggetto ? (anche se non necessariamente un numero). Con il termine "infinitesimo" intendi una generica successione infinitesima ?
( e in questo modo due successioni che differiscono anche in un solo elemento sono infinitesimi diversi) intendi una classe di equivalenza di successioni
infinitesime? (e allora con l'equivalenza di prima c'e un solo infinitesimo). $dx$ e' un infinitesimo ? E' una classe di infinitesimi?

Temo purtroppo (e forse e' inevitabile) che dovrei aver studiato (o studiare) piu' fisica per capire cosa intendono coloro che usano questo linguaggio -
le cose di analisi non standard che mi sono letto in questi giorni mi sembrano interessanti, ma mi piacerebbe sapere se traducano veramente cio' che fanno,
per esempio, i fisici.