chi è $dx$?

[gugo82]

Mi sono preso la briga di dare una scorsa veloce agli appunti consigliati dal Pantieri in una delle prime pagine del thread: in effetti trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.

La teoria è carina, devo dire; ma sono troppo affezionato alle mie dimostrazioni $epsilon-delta$.

[Sidereus]

Scusa se sembro pedante - se vuoi smettiamo ....

Ma figurati
Lasciamo perdere le equivalenze e ragioniamo terra terra, con la speranza di essere chiaro.
Considera queste due successioni di numeri razionali:

$((a_n,b_n,|n),(2,3,|0),(2.7,2.8,|1),(2.71,2.72,|2),(2.718,2.719,|3),(2.7182,2.7183,|4),(2.71828,2.71829,|5),(2.718281,2.718292,|6),("***","***",|"*"))$

Osserva che $b_n - a_n = 1/(10^n)$ è un infinitesimo.
Queste due successioni servono a “incastrare” il numero irrazionale $e$, la base dei logaritmi naturali. Ma chi è esattamente il numero $e$?
Proviamo a spingere le due successioni $a_n$ e $b_n$ fino a n=6. Scopriremo che

$a_6 < e < b_6$, ma né $a_6$ né $b_6$ sono $e$.

Nella figura qui sotto, $e$ deve essere immaginato nel mare magnum compreso fra i due numeri razionali 2.718281 e 2.718282; tuttavia, non sappiamo in quale punto di questo oceano si trova davvero $e$.

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

L’obiezione che potremmo localizzare meglio $e$ spingendoci, magari, fino a n=9, in realtà non regge. Con n=9 risulta che $e$ si trova nel mare magnum compreso tra 2,718281828 e 2,718281829 e siamo punto e da capo.
Allora abbiamo due possibilità:

1.Dichiarare che non esiste un numero siffatto, il che equivale a dire che non esistono i numeri irrazionali e quindi neanche i numeri reali. In tal caso non è possibile nessuna analisi matematica nel continuo.

2.Postulare che un tale numero $e$ esista davvero, ma anche che non siamo in grado di localizzarlo univocamente nel continuo. Un numero di questa specie assomiglia in qualche maniera all’elettrone di Heisenberg: l’elettrone c’è, ma non possiamo disegnarlo, perché non è possibile “sapere come è fatto”, cioè vederlo. In modo analogo, un numero irrazionale c’è, ma non possiamo scriverlo, perché non siamo in grado di scrivere infinite cifre decimali.

La conclusione è che non possiamo concepire i numeri irrazionali senza la nozione di infinitesimo (cioè di successione tendente a 0). In altre parole, i numeri reali non si possono costruire senza avere già a disposizione gli infinitesimi (razionali). Nota anche che le disuguaglianze

$a_n < e < b_n$ implicano che per ogni successione infinitesima $dx$ risulti

$a_n +dx < e +dx < b_n+dx$ definitivamente.

Dunque un numero reale come $e$ possiede “per sua natura” una nube di numeri infinitamente vicini $e+dx$ che lo circonda. $dx$ è l’indeterminazione intrinseca alla possibilità di conoscere i numeri reali.

La famosa identità $e^(i \pi)+1=0$
che contiene le cinque costanti fondamentali della matematica, si dovrebbe a mio avviso correggere così:
$(e^(i \pi)+1)dx=0$

Salute

Messaggio corretto dopo la segnalazione di Fioravante Patrone

[Fioravante Patrone]

Scusa se sembro pedante - se vuoi smettiamo ....

Ma figurati

Probabilmente non afferri il mio linguaggio perché ti mancano le nozioni di relazione di equivalenza, classe di equivalenza e insieme quoziente.
Lasciamo perdere le equivalenze e ragioniamo terra terra, con la speranza di essere chiaro.

...

Salute
p.s. In ogni caso, ti consiglio di imparare bene l'analisi ortodossa, prima di cimentarti in queste varianti sul tema.

Sidereus, ti "consiglio", prima di lanciarti in affermazioni avventurose, di dare un'occhiata al complesso degli interventi di ViciousGoblin (precedentemente era ViciousGoblinEnters, sinteticamente VGE).

[Sidereus]

Sidereus, ti "consiglio", prima di lanciarti in affermazioni avventurose, di dare un'occhiata al complesso degli interventi di ViciousGoblin (precedentemente era ViciousGoblinEnters, sinteticamente VGE).

Obbedisco (ma tu ce l'hai proprio con me, eh )

[ViciousGoblin]

Caro Sidereus - cerco di tirare delle conclusioni dal nostro discorso. Come avevo detto all'inizio mi interessava capire il tuo punto di vista per vedere
se era riconducibile a qualcuno degli schemi che conosco. Se devo trarre una morale dalla discussione ho invece l'impressione che "capirsi" sia difficile,
e mi pare sempre piu' utopia cio' a cui ho per lungo tempo creduto, e cioe' che l'adozione di un linguaggio formalizzato potesse dirimere le questioni, permettendo di
arrivare al "nocciolo" dei problemi . Peraltro il ricorrere a un linguaggio (piu' o meno) formalizzato e' cio' a cui sono stato abituato da piu' di trent'anni per cui non
riesco a fare altro.
Ti ringrazio, in ogni caso, per avermi fatto riflettere su queste problematiche, cosa che mi ha portato tra l'altro a farmi rivedere l'approccio dell'analisi non standard
(che - ti assicuro - ho gli strumenti per comprendere).

Ti mando comunque - cosi' "per parlare" - alcuni commenti che mi suscitano le tue risposte

1) Il tuo ultimo messaggio, con l'esempio relativo a $e$, mi fa sostanzialente capire che tu vedi i numeri reali come le successioni di razionali che verificano
la proprieta' di Cauchy, modulo la relazione di equivalenza $(a_n)\sim(b_n)$ se e solo se $a_n-b_n\to0$. Mi va benissimo, ma non vedo come questo abbia a che fare
con i $dx$ (quel $dx$ che si mette nell'integrale o nel segno di derivata). Dunque la relazione di equivalenza di cui parlavi riguarda I REALI e non gli
infinitesimi - questo va d'accordo con la mia obiezione

e allora con l'equivalenza di prima c'e un solo infinitesimo

in effetti tutte le successioni equivalenti individuano un unico numero reale.
Fammi peraltro dire che a me la scrittura $a_n+dx$ appare insensata - o scrivi $a+dx$ o
scrivi $a_n+dx_n$; capisco di apparire forse troppo formale, ma in questioni come queste come si fa a cavare qualcosa se si confondono pere e mele?

2) Il tuo esempio riguardante la derivata di $x\mapsto x^3$ e' perfetto e mi sembra un ottimo modo di concepire la derivata mediante i differenziali - oltretutto
e' l'approccio giusto in piu' variabili. A me i differenziali sono chiarissimi: se $f$ e' una funzione e $x_0$ e' un punto il suo differenziale $df(x_0)$ e'
un'applicazione lineare tale che $f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$. Se intendi che $dx$ e' il differenziale della funzione identica (che e' il linguaggio delle
forme differenziali) mi sta bene, anche se la notazione e' per me orrida, in quanto non mi consente piu' di usare $x$ come variabile $dx(x)=x$????.
La coerenza imporrebbe di scrivere, per esempio $df(x_0)=f'(x_0)di(x_0)$ , dove $i(x)=x$. Riconosco che se $dx$ e' il differenziale della funzione identica la scrittura
$f'=\frac{df}{dx}$ -che io scriverei $f'(x_0)=\frac{df(x_0)}{di(x_0)}$ e' perfettamente sensata e stabilisce che la funzione $\frac{df(x_0)}{di(x_0)}$, che e' definita in ogni $x\ne 0$ e' costantemente eguale a $f'(x_0).
Mi chiedo se il $dx$ che si mette negli integrali vada/sia (??) inteso in questo modo

3) In altri momenti mi pare che con $dx$ tu intenda solo una variabile, cioe' un simbolo come quello usato nella formula $f(x_0+dx)=f(x_0)+f'(x_0)dx+o(dx)$, formula che
sarebbe lo stesso scrivere $f(x_0+"alejandro")=f(x_0)+f'(x_0)"alejandro"+o("alejandro")$, a parte che forse e' piu' espressivo indicare un
incremento con il simbolo "$dx$" invece che con "$"alejandro"$". In questo caso il $dx$ che si mette nell'integrale non mi pare altro che un orpello grafico
che puo' ricordare intituivamente come l'integrale e' stato introdotto, ma privo di un suo senso individuale - voglio dire che nella
scrittura $\int_E f(x) dx$ il senso e' "globale" ( che come e' stato detto all'inizio del thread dipendente solo da $f$ e da $E$) e non e' l'unione
dei pezzi $\int$, $E$, $f(x)$ e $dx$ aventi ognuno un senso individuale (tutte nozioni da precisare ...)- sarebbe lo stesso scrivere $INT(f(x),x,E)$
(come si fa in Mathematica e programmi simili) o $INT(f,E)$, come suggerisce F.P.

4) Sia il punto di vista 2) che il punto di vista 3) non mi sembrano dare una consistenza a una nozione "attuale" (??) di infinitesimo, quella che viceversa mi
sembrava di capire maneggiassero i fisici, che - mi sembra - pensano al $dx$ come un oggetto. Forse non e' e' nelle tue intenzioni considerare una nozione di questo tipo dato che dici

A mio modo di vedere, non c'è ragione di pensare agli infinitesimi come dei numeri.

Ma allora tutti le nozioni di limite/derivata/integrale sono sempre basati sugli $\epsilon$/$\delta$ di Weierstrass. In effetti se per te infinitesimo e' sinonimo di
successione infinitesima, allora la nozione di limite c'e' l'hai gia' (e deve essere fatta in termini di $\epsilon$/$\delta$ ) o no?
Dunque tutti questi discorsi sui $dx$ non sono sostanziali ma solo una questione di notazione piu' o meno espressiva. Bada che non sottovaluto assolutamente la
bonta' o meno della notazione. Oltretutto -lo confesso . anch'io uso la regoletta " se $y=g(x)$, allora $dy=g'(x)dx$ nel'integrazione per sostituzione (ma so che dietro c'e' un teorema) ; diro' di piu': dato che la regola funziona mi piacerebbe molto trovarrne un fondamento teorico.

Concludendo non so bene che conclusioni tirare .... Mi pare che oltre all'analisi non standard ci sia poco di formalmente corretto che sia alternativo alla "machinery" dei limiti,
anche se non ho ancora capito se l'analisi nonstandard traduca veramente le intuizioni "dei fisici" (dico cosi' perche' mi pare siano i fisici a usare in maniera disinvolta i $dx$).
Questo tipo di discussioni mi lascia sempre con un po' di amaro in bocca perche' ho sia l'impressione di non essermi spiegato e contemporaneamente quella di non aver
capito perfettamente. Personalmente non potrei fare a meno di notazioni coerenti ma ho un po' paura di perdermi qualcosa. Probabilmente (e ridico qualcosa che ho gia espresso)
per capire "i fisici" dovrei ristudiare un po' la fisica - che ho invece abbandonato da un po' di tempo - ma non si puo' fare tutto....
Va beh - scusate la prolissita' - aspetto le prossime bordate

P.S. Ringrazio F.P. (ex cattivissimo) per aver preso le mie difese. In realta' dietro un vizioso nick preso da un adventure game dei primi anni ottanta
(giocato su un mitico z80 spectrum) si nasconde un canuto cinquantenne professore di Analisi presso la facolta' di Ingegneria (prima Parma e ora Pisa).
Non voglio reclamare autorita' - pero' l'esortazione di " imparare bene l'analisi ortodossa, prima di cimentarti in queste varianti sul tema"
mi ha fatto un po' sorridere (ma non arrabbiare - tendenzialente sono un "buono").

[Mega-X]

Per quel che mi riguarda sono pienamente d'accordo con Fioravante Patrone.

Data una qualunque funzione $f : DsubeRR -> CsubeRR$, la variabile che prenderà questa funzione $f$ o la chiamo $x$ o la chiamo $text(trevirgolaquattordiciquindici)$, a queste due variabili corrisponderanno i corrispettivi differenziali $dx$ e $d text(trevirgolaquattordiciquindi)$, differenziali che ci faranno comodo nei conti, ovviamente.

Visto che la variabile la si può chiamare con i nomi più fantasiosi possibili, tantovale evitar di scrivere la variabile ed il differenziale, così risparmiamo fatica. (Capirai che fatica ... )

Dunque son d'accordo a scrivere integrali come $\int_{D}f$.

Però nella fase calcolativa li scriverò come $\int_{a}^{b}f(x)dx$ perché fanno comodo.

[Sidereus]

Ommammamia, ho fatto una gaffe spaventosa
Chiedo venia umilmente
Ma santo cielo, Vicious Goblin, sei professore di Analisi e vieni a chiedere a me di definirti le successioni di Cauchy equivalenti? E' questo che mi ha fuorviato.

Il tuo ultimo messaggio, con l'esempio relativo a $e$, mi fa sostanzialente capire che tu vedi i numeri reali come le successioni di razionali che verificano la proprieta' di Cauchy, modulo la relazione di equivalenza $(a_n)\sim(b_n)$ se e solo se $a_n-b_n\to0$

Beh, ma non sono io a dirlo. E' il teorema di completamento degli spazi metrici. In base a questo teorema, $RR$ è il completamento di $QQ$, ed è un vero teorema di matematica, perché costruisce effettivamente $RR$; secondo me non è sufficiente limitarsi a fare l'elenco degli assiomi che valgono in $RR$, senza dimostrare anche che esiste davvero un insieme che gode di quelle proprietà.
Limitarsi al formalismo senza fare costruzioni riduce la matematica a una collezione di esercizi di logica, secondo il mio pedestre parere. Secondo me il matematico non può accontentarsi di teoremi di esistenza puramente logici che non offrono una costruzione dell'oggetto di cui si suppone l'esistenza.
Cerco di spiegarmi. Il teorema di Lagrange sul valore intermedio ci dice che
$(f(b)-f(a))/(b-a) = f'(\eta)$ sotto certe ipotesi.
Bene, il teorema ci informa che esiste questo numero $\eta$, ma non ci dice come trovarlo: è un teorema di logica. Paradossalmente, la versione geometrica di questo teorema è veramente matematica: tracciare la tangente alla curva $y=f(x)$ parallela alla secante e proiettare il punto di tangenza sull'asse delle $x$. Qui l'esistenza deriva da una costruzione matematica, non da un esercizio logico. Un analogo problema si verifica col teorema delle funzioni implicite, che in realtà contiene due teoremi, uno logico e uno matematico. Questo teorema dimostra l'esistenza di una funzione senza costruirla (parte logica) e quindi come calcolare la sua derivata (parte matematica).
Ci tengo a precisare che non sto dicendo che i teoremi di esistenza logici non sono accettabili. Vanno benissimo. Purché non se ne abusi e ci si renda ben conto che la matematica è un'altra cosa.

Quanto alla questione della notazione $dx$, la considero un sinonimo di successione $a_n$ tendente a 0.
Nell'integrale essa segnala la contrazione a zero delle $\Deltax_n$ che scriviamo nelle somme di Riemann, nella matematica applicata segnala la stessa cosa e in più la coerenza con le unità di misura, nella derivata segnala il differenziale della variabile dipendente rapportato al differenziale della variabile indipendente, poi c'è la coerenza con la teoria della misura.... insomma ho elencato almeno quattro buone ragioni per tenerselo.

Infine, mi chiedi se considerare successioni che tendono a 0 non sia la stessa cosa del limite. Lo è. Ma anche l'assioma dell'estremo superiore, quello che distingue i numeri reali dai razionali, che altro è, se non un limite mascherato?

Inoltre, accettare l'assioma dell'estremo superiore significa accettare l'esistenza degli infinitesimi.
Sia $A$ un insieme di numeri reali non vuoto e superiormente limitato. Allora esiste $"sup"A$.
Sia $\epsilon_1$ un numero positivo arbitrario; allora esiste un $a_1 \in A$ tale che $"sup"A-\epsilon_1<a_1<="sup"A$
Sia $\epsilon_2<\epsilon_1$ un numero positivo arbitrario; allora esiste un $a_2 \in A$ tale che $"sup"A-\epsilon_2<a_2<="sup"A$
..................................
Iterando questo processo risulta che $\epsilon_n$ è un infinitesimo, che $"sup"A-a_n$ è un altro infinitesimo e che $a_n$ è una classe di numeri infinitamente vicini a $"sup"A$.

Ricordiamo la definizione di infinitesimo (positivo) di Robinson:
un "numero" (?) $\epsilon$ tale che $0<\epsilon < 1/n$ per ogni $n \in NN$
Allora $\epsilon=1/(n+1)$ è un infinitesimo o no?

Salute

[Sidereus]

.... il $dx$ che si mette nell'integrale non mi pare altro che un orpello grafico
che puo' ricordare intituivamente come l'integrale e' stato introdotto, ma privo di un suo senso individuale

Questo passaggio mi era sfuggito. Farò un ragionamento euristico, molto terra terra.
Pensiamo a un intervallo chiuso e limitato di numeri reali $[y_a,y_b]$
Costruiamo una generica partizione dell'intervallo in questione:

$y_a=y_0<y_1<y_2<y_3<........<y_n=y_b$ e poniamo $\Deltay_k=y_k-y_(k-1)$

Consideriamo la somma $\sum_{k=1}^n \Deltay_k$

E' del tutto ovvio che $\sum_{k=1}^n \Deltay_k = y_b-y_a$.

Questa somma dipende da quale partizione ho scelto? No.
Questa somma dipende dal numero $n$ di punti della partizione? No.

Se faccio partire un processo di raffinamento delle partizioni con un $n$ sempre più grande il risultato cambia? No

Formalmente scriviamo allora che $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \Deltay_k = y_b-y_a$, indipendentemente dalle

partizioni scelte e con la condizione che il parametro di finezza $\Delta_n=max(\Deltay_k , k=1,2,...,n)$ tenda a 0.

Nel linguaggio degli infinitesimi, ciò si esprime dicendo che al crescere di $n$ i $\Deltay_k$ diventano infinitesimi $dy$ e che la summa integralis di tutti questi infinitesimi è uguale a $y_b-y_a$:

$\int_{y_a}^{y_b} dy=y_b-y_a$

Nel linguaggio formale pulito e senza orpelli grafici scriveremo invece che:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \Deltay_k = \int_{y_a}^{y_b} =y_b-y_a$

Significa per caso che la summa integralis del nulla produce $y_b-y_a$?

Salute e grazie per l'attenzione

[gugo82]

Nel linguaggio formale pulito e senza orpelli grafici scriveremo invece che:

$\int_{y_a}^{y_b}= \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \Deltay_k =y_b-y_a$

Significa per caso che la summa integralis del nulla produce $y_b-y_a$?

Non vedo perchè far intervenire qualcosa che matematicamente non esiste ("il nulla") solo per evocare un'impossibilità che è solo negli occhi di chi scrive.

Il significato dei simboli in matematica è quello che noi, convenzionalmente, attribuiamo mediante definizioni: pertanto non ci vedrei niente di strano nell'usare l'uguaglianza $\int_{y_a}^{y_b} :=y_b-y_a$ come definizione del simbolo $\int_{y_a}^{y_b}$.
L'unica discriminante nell'adozione di una notazione è l'utilità.

[Sidereus]

Il significato dei simboli in matematica è quello che noi, convenzionalmente, attribuiamo mediante definizioni: pertanto non ci vedrei niente di strano nell'usare l'uguaglianza $\int_{y_a}^{y_b} :=y_b-y_a$ come definizione del simbolo $\int_{y_a}^{y_b}$.

Stai dicendo che la matematica è una scienza del linguaggio. Ma una scienza del linguaggio esiste già, ed è la logica. Tanto vale dedicarsi alla logica. Comunque, il 95% dei matematici del ventesimo secolo ha abbracciato il tuo punto vista.
Quello strano sono io. Io pensavo e penso tuttora che la matematica sia il linguaggio della scienza, e non la scienza del linguaggio. In effetti, per venticinque secoli la matematica è stata il linguaggio della scienza. Ha smesso di esserlo nel ventesimo secolo. Nel corso della storia, la matematica è sempre servita a risolvere problemi difficili. Da un po' di tempo si è dedicata a rendere difficili i problemi già risolti. Questo la renderà sterile. Parere personale, ca va sans dire.
Salute