Come Formalizzare una Dimostrazione?

[mklplo]

Premetto che non sono sicuro del fatto che sia o meno la sezione giusta,nel caso vi chiedo scusa.
Salve,ultimamente,continuando(anche se cercando di capire meglio i concetti) a studiare,mi sto rendendo conto di una cosa:Ogni volta che provo a dimostrare qualcosa,lo so fare solo "senza formalizzare";e quindi non credo si possa considerare una vera e propria dimostrazione.
Un esempio di questo è quando provai a dimostrare questo teorema:"Sia $X$ un insieme compatto,sia $f$ una funzione continua,allora $f(X)$ è anch'esso compatto"(spero di aver scritto bene il teorema),feci questo ragionamento:
"1)Per il teorema di Heine-Borel,un insieme contenuto o uguale a $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
2)Da quel che so,se una funzione è continua essa non avrà asintoti verticali,il che vuol dire che da un insieme limitato ne otterrò uno limitato.
3)Ora,non mi resta da dimostrare che se $X$ è compatto,$f(X)$ sarà anche chiuso oltre che limitato.Per far ciò penso al caso in cui l'insieme di partenza fosse aperto(non mi chiedete il perchè),allora se la funzione non fosse monotona allora l'immagine sarebbe un insieme chiuso,altrimenti un insieme aperto.Facendo qualche un confronto con gli insiemi chiusi,concludo che se $X$ è compatto,allora $f(X)$ e sia chiuso che limitato e quindi compatto."
Se poi aggiungo che questa è una delle "dimostrazioni" più rigorose che so fare,penso che diventi abbastanza ovvio capire che non sto messo bene.
Per questo vi chiedo,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe spiegarmi cosa potrei provare per migliorare nel formalizzare una dimostrazione?

[Luca.Lussardi]

Direi che di strada ne devi fare ancora tanta, ma tanta. Prima di tutto nel tuo enunciato tantissime cose mancano: ad esempio la compattezza non e' una proprieta' che puoi dare ad un insieme qualsiasi, $f$ da dove va a dove va? Invochi il teorema di Heine-Borel, che vale solo se $X$ e' fatto in un certo modo, senza parlare degli asintoti che non han significato in un contesto generale.

[mklplo]

Giusto,dato che era un esempio non ho dato peso all'enunciato,che a ripensarci occupa buona parte del post.Allora, \( X\subseteq \mathbb{R},f:X \rightarrow \mathbb{R} \),per quanto riguarda gli asintoti,ragionavo su di essi,per avere la certezza che una funzione limitata su tutto $RR$,non poteva tendere all'infinito se assume valori,appartenenti a un insieme limitato.

[Luca.Lussardi]

Quindi cominciamo con lo scrivere l'enunciato in modo preciso: se $X$ e' compatto in $\mathbb R$ e $f: X \to \mathbb R$ e' continua allora $f(X)$ e' compatto in $\mathbb R$. Per la dimostrazione io ricorderei come si caratterizza la compattezza mediante successioni, e' uno strumento che semplifica molto gli argomenti topologici, quando si puo' fare.

[Indrjo Dedej]

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@mklplo, domanda stupida: cosa intendi per "formalizzare"? Sei hai voglia rispondi, altrimenti guarda e passa.

Ecco a cosa serve la geometria euclidea.

[mklplo]

@Luca.Lussardi
Grazie,ma il punto non è come dimostrare quel teorema(tralasciando che con le successioni non saprei minimamente come fare a dimostrare che dall'immagine posso estrarre una sotto-successione finita),ma come imparare a formalizzare un ragionamento,che riesco a esprimere(con qualche difficoltà) solo a parole(come nell'esempio di prima).

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@Indrjo Dedej
Per formalizzare intendo esprimere in modo rigoroso un concetto(non a parole),in modo che non presenti imperfezioni.
Nell'esempio di prima ho usato le proprietà delle funzioni che conosco,ma se avessi commess0 qualche errore,non me ne sarei accorto e inoltre;se mi presentassi ad un esame di analisi 1 con una dimostrazione del genere penso,che minimo mi caccerebbero.

[Luca.Lussardi]

Il problema e' che per rendere rigoroso quello che hai scritto e' necessario passare attraverso le successioni, perlomeno e' la strada piu' tipica a livello di analisi 1. Se non le conosci te le devi studiare se vuoi imparare a formalizzare una dimostrazione come questa.

[mklplo]

Grazie nuovamente,riproverò a fare la dimostrazione e poi la riporterò

[mklplo]

Ho provato a fare qualcosa,ma non sono sicuro che vada bene,ecco cosa ho provato:
1)Assumiamo che $f(X)$ sia compatto,e che \( f^{-1}:f(X)\rightarrow X \) sia continua e biiettiva.
2)Poi prendo una famiglia di aperti,che indico con $B$,che è un ricoprimento di $f(X)$
3)Poi so che $f^-1$ di un insieme aperto,mi restituisce un aperto;così facendo è possibile creare un'altra famiglia di aperti,che indico con $A$,che è un ricoprimento di $X$.Da qui segue che $X$ è compatto
4)Infine,per un teorema,so che la funzione inversa di $f^-1$,cioè $f$, è una funzione continua.
Dato che,partendo da ciò che voglio dimostrare,sono arrivato alle ipotesi senza contraddizioni(ammesso e non concesso che non abbia fatto errori),allora il teorema è dimostrato.

[Bremen000]

@mklplo: so che te lo hanno già detto in molti, siccome sinceramente apprezzo il tuo impegno e ci siamo incrociati in qualche discussione mi sento di consigliarti nuovamente di fare un passo indietro prima di tuffarti in tali questioni; ne avrai tutto il tempo.