Come Formalizzare una Dimostrazione?

[Indrjo Dedej]

@vict85 Mmmm... Interessante... Aspetta che ci penso...

[Indrjo Dedej]

Ma in generale $+infty$ e $-infty$ non sono numeri...

@mklplo, se sei nei paraggi prova a vedere se ti interessa:
http://effediesse.mate.polimi.it/?arg=s ... pagina=335. Sicuramente ci saranno delle iniziative affini altrove...

[vict85]

Pensandoci su mi sono reso conto di aver semplicemente dimostrato che il queste due affermazioni sono equivalenti:

1. \(\forall u\in U\), \( x < u \) implica \(\displaystyle x\le a \);
2. \(\displaystyle a = \inf\,U \);

Il punto è che dimostrare che \(0 = \inf\,\mathbb{R}^+\) è semplice per via della definizione di \(\mathbb{R}^+\) e ho finito per darlo per scontato. Cerco quindi di dimostrare questo passaggio un pochino più formalmente (sperando di non essere troppo arrugginito dato che non mi occupo di matematica da 2 anni). Nel dimostrarlo ho usato solo il fatto che \(\mathbb{R}\) è un ordine totale e denso (nota che \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è denso).

\(\mathbb{R}\) è un ordine totale e quindi per ogni \(a,b\in\mathbb{R}\) si deve avere \(a < b\), \(b < a\) oppure \(a = b\). Quindi:

1. \(0\) è banalmente un minorante di \(\mathbb{R}^+\);
2. ogni elemento di \(\mathbb{R}^-\) è un minorante di \(\mathbb{R}^+\) in quanto è minore di \(\displaystyle 0 \) (le relazioni d'ordine sono transitive).

Non rimane altro da dimostrare che \(\mathbb{R}^+\) non possiede minimi. Ma questo viene dimostrato usando la densità dell'insieme. Infatti, per ogni \(m\in\mathbb{R}^+\) esiste un \(n\in\mathbb{R}^+\) tale che \(0< n< m\) e quindi \(\displaystyle m \) non è un minorante di \(\mathbb{R}^+\).

[mklplo]

Proprio per il fatto che l'infinito non è un numero che prima avevo usato $omega$,che indica il più piccolo numero ordinale transfinito.Inoltre ho scelto di usare un numero che non appartiene ad $NN$,ma più grande di qualsiasi altro numero naturale,proprio per evidenziare il fatto,che il minimo non esiste,e che il suo $i n f$ sia uguale a $0$.Ora non so se sia o meno corretto,usare i numeri ordinali in questa dimostrazione,ma nel caso non lo sia,mi piacerebbe sapere anche il perché(per cercare di evitare errori futuri).
@Indrjo Dedej:grazie per il link,farò qualche ricerca in merito.

[Indrjo Dedej]

Aspetta un attimo. Perché stai usando i cardinali? L'infinto $infty$ e $aleph$ sono cose diverse.

Non sono un'esperto ma $aleph_0$ indica la cardinalità del numerabile - quella di $NN$, $ZZ$ e di $QQ$ per intenderci. Non è un vero e proprio numero nel senso che conosci, non è un numero naturale tanto meno. $aleph_0$ - e compagnia bella - non indica il numero di elementi, non è un numero naturale, ma indica l'equipotenza a $NN$, con lo $0$ o meno. Non so se sia corretto il fatto di confrontare un cardinale con un numero naturale.
L'infinito $infty$ è solo un simbolo introdotto per comodità, per semplificare alcune cose, ma non è un numero, questa volta in tutti i sensi immaginabili.

[mklplo]

infatti ho detto ordinali e non cardinali.

[Indrjo Dedej]

Non lo so. Mi sembra che valga lo stesso quello che ho detto... Magari qualcuno che se ne intende ti può dare un parere più azzeccato.

[mklplo]

@Indrjo Dedej:lo spero anch'io,infatti,per quanto riguarda questi "numeri",ne so veramente pochissimo.

[josquino]

Volendo rispondere alla domanda del Topic dico che anche io mi sono posto il problema di come imparare a fare dimostrazioni in modo rigoroso, in quanto è da poco che ho cominciato a studiare fisica e matematica ( e non ho 15 anni ma una decina in più).
Mi sono subito messo a fare la geometria euclidea. Cercavo un libro in italiano in cui ci fosse la teoria il più completa possibile. Alla fine ho trovato un libro vecchissimo (elementi di geometria di Amaldi, Enriques) in una edizione abbastanza recente. Lo sto trovando utilissimo in quanto ha una impostazione rigorosa come cercavo in cui tutto è costruito dalle definizioni e dai postulati e ci sono tantissimi esercizi ,quasi tutti dimostrazioni. Quindi io consiglierei la geometria euclidea con un testo simile, soprattutto se si è uno studente del liceo. Per fare un esempio si trovano centinaia di esercizi di questo tipo:

"dimostrare che se due lati di un triangolo sono diseguali, la bisettrice uscente dal loro vertice comune divide il lato opposto in parti diseguali ed è maggiore quella adiacente al lato maggiore."

Secondo me sono cose semplici ma su cui ci si fa le ossa.

[mklplo]

@josquino:grazie anche a te per la risposta;ma onestamente,con la geometria eucliedea,non vado per niente d'accordo.Inoltre già trovo difficoltà con dimostrazioni che usano l'analisi e l'algebra,figuriamoci la geometria euclidea.Comunque,penso che il consiglio potrà essere utile a qualcun altro che in futuro leggerà la discussione.