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Ciao Martino, il tuo intervento è certamente condivisibile in larga parte, ma mi sembra che sia basato su una serie di malintesi. Spero mi permetterai di aggiungere un parere informato.
Purtroppo sarà una risposta molto lunga, perché tu hai detto molte cose... ognuno apra la tendina su quel che più gli aggrada sapere.
1. Olivia
2. La teoria delle categorie fa cose, ma non ne fa altre.
3.
4. La tendenza velleitaria e un po' superomistica dei categoristi a voler dire tutto con le categorie, e quello che non riesci a dire con le categorie non è nemmeno matematica.
5. In CT non si fanno conti, è tutto un muovere le mani.
6. In sintesi.
Purtroppo sarà una risposta molto lunga, perché tu hai detto molte cose... ognuno apra la tendina su quel che più gli aggrada sapere.
1. Olivia
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Primo. Olivia non è una categorista (nel senso che una sua lettera aperta alla comunità si chiude con le parole "I have been regularly told (by different category theorists) things such as “you are not one of us” (referring to my different way of doing mathematics), “you have made me and Lawvere seem idiots” (referring to my address at the CT 2010) and “it is not that we do not understand, it is that we do not want to understand”. This is an attitude that one might label as “mathematical fanaticism”. I therefore no longer consider it my problem to make my word heard by people that do not want to hear."
Questo mi sembra emblematico della volontà, da ambo le parti, di non considerarsi fratelli.
Olivia non si considera una persona che fa teoria delle categorie, ma una delle tante che le usa; nella fattispecie, per fare logica.
Quello che lei dice, quindi, è personale opinione di "una logica che usa la teoria delle categorie" (sue parole praticamente letterali). Ciò di cui si occupa è poi un frammento di logica, la logica categoriale e la teoria dei topos, gli strumenti di lavoro della quale sono una sottoclasse della teoria delle categorie.
In secondo luogo, "The unification of Mathematics" non è un articolo che pretende di unificare tutta la matematica con la teoria delle categorie/teoria dei topos, e non è stato pubblicato su una rivista. E', piuttosto, un programma di ricerca dal titolo roboante che Olivia ha presentato al CT2010 di Cambridge (generando, praticamente, la faida che l'ha portata a reagire nel modo che la "controversia" racconta). Insomma, c'è una storia dietro, che tu non sai, legata anche al carattere particolare di Olivia.
Il paper è stato presentato quando lei doveva ancora finire il dottorato; in quel periodo si considerava sì una categorista, e quel che faceva era proprio teoria dei topos. Poi c'è stata la diatriba (legata anche al fatto che i categoristi hanno un brutto carattere, e quando canzonate la loro matematica automaticamente state attaccando la loro persona...)
Il titolo del paper poi trae in inganno, ma se lo leggi sapendo qualcosa di logica categoriale ti rendi conto che è Matematica come le altre: profonda, tecnicamente molto virtuosa, generale, astratta, ma sempre Matematica. Quindi ha un campo di applicabilità limitato, perché è fatta di teoremi, e i teoremi si fanno con le ipotesi.
In terzo luogo, lavori simili, per esempio il paper di Lawvere "The category of categories as a foundation for mathematics" hanno anche loro un titolo roboante, ma (quello, ad esempio) dice una cosa molto precisa, che ha limiti di applicabilità precisi, che enuncia risultati e dimostra teoremi: praticamente, c'è una teoria al primo ordine, che fa cose, e che dovrebbe servire a "fondare" la matematica nello stesso senso in cui lo fa la teoria degli insiemi (meno persone si stupirebbero se il titolo del paper fosse "Set theory as a foundation for mathematics": la risposta "ci mancherebbe, cos'altro dovremmo usare?"... eh, sapeste cos'altro c'è!).
Questo mi sembra emblematico della volontà, da ambo le parti, di non considerarsi fratelli.
Olivia non si considera una persona che fa teoria delle categorie, ma una delle tante che le usa; nella fattispecie, per fare logica.
Quello che lei dice, quindi, è personale opinione di "una logica che usa la teoria delle categorie" (sue parole praticamente letterali). Ciò di cui si occupa è poi un frammento di logica, la logica categoriale e la teoria dei topos, gli strumenti di lavoro della quale sono una sottoclasse della teoria delle categorie.
In secondo luogo, "The unification of Mathematics" non è un articolo che pretende di unificare tutta la matematica con la teoria delle categorie/teoria dei topos, e non è stato pubblicato su una rivista. E', piuttosto, un programma di ricerca dal titolo roboante che Olivia ha presentato al CT2010 di Cambridge (generando, praticamente, la faida che l'ha portata a reagire nel modo che la "controversia" racconta). Insomma, c'è una storia dietro, che tu non sai, legata anche al carattere particolare di Olivia.
Il paper è stato presentato quando lei doveva ancora finire il dottorato; in quel periodo si considerava sì una categorista, e quel che faceva era proprio teoria dei topos. Poi c'è stata la diatriba (legata anche al fatto che i categoristi hanno un brutto carattere, e quando canzonate la loro matematica automaticamente state attaccando la loro persona...)
Il titolo del paper poi trae in inganno, ma se lo leggi sapendo qualcosa di logica categoriale ti rendi conto che è Matematica come le altre: profonda, tecnicamente molto virtuosa, generale, astratta, ma sempre Matematica. Quindi ha un campo di applicabilità limitato, perché è fatta di teoremi, e i teoremi si fanno con le ipotesi.
In terzo luogo, lavori simili, per esempio il paper di Lawvere "The category of categories as a foundation for mathematics" hanno anche loro un titolo roboante, ma (quello, ad esempio) dice una cosa molto precisa, che ha limiti di applicabilità precisi, che enuncia risultati e dimostra teoremi: praticamente, c'è una teoria al primo ordine, che fa cose, e che dovrebbe servire a "fondare" la matematica nello stesso senso in cui lo fa la teoria degli insiemi (meno persone si stupirebbero se il titolo del paper fosse "Set theory as a foundation for mathematics": la risposta "ci mancherebbe, cos'altro dovremmo usare?"... eh, sapeste cos'altro c'è!).
2. La teoria delle categorie fa cose, ma non ne fa altre.
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Questo approccio ha dei pregi? Certo: è generale, espressivo, potente, parla di strutture che sono difficili da catturare e da riconoscere in quanto simili usando gli insiemi; e soprattutto "non parla di insiemi" ma di un certo frammento di teoria dei tipi. Che è una teoria "migliore" sotto diversi punti di vista, filosofici e matematici-tecnici, della teoria degli insiemi.
Questo approccio ha molti difetti: non è chiaro quanto sia vero che questa è davvero una fondazione. Quello che si può dire "non piace" ai matematici che non sanno la teoria delle categorie, perché i teoremi sono meno potenti (si può misurare con una certa precisione quanto meno). Ciò significa che l'analisi funzionale viene peggio, la teoria delle equazioni differenziali, la fisica matematica, la combinatoria, sono più difficili da dire, e certi teoremi smettono di essere dimostrabili perché il linguaggio è meno potente. Che schifo, per chi vuole che la matematica distrugga tutto come un martello!
Sotto questo aspetto, la comunità di teoria delle categorie applicata sta facendo progressi enormi: stiamo a vedere, è nata da un paio d'anni. Ma la sensazione è che sia un momento di svolta, perché al momento la volontà è di parlare "di tutto quello di cui fino a ieri CT non parlava": genetica, teoria dei giochi, analisi stocastica, teoria della misura, combinatoria, teoria delle stringhe e gravità quantistica, sistemi dinamici, criptovalute, diagrammi di flusso del segnale, reti neurali, blockchain, machine learning, neuroscienze, linguistica... (non sto citando cose a caso, ho un paper o un cluster di articoli in mente per ciascuno di queste aree di ricerca, sto solo evitando di piazzare 120 link; chi vuole, chieda). Non sono lavori che cambieranno la vita a chi fa teoria dei giochi da 40 anni, e per ora non sembra esserci una relazione tra ciò che il resto del mondo chiama teoria dei giochi e ciò che i categoristi chiamano teoria dei giochi, quindi temo che la vostra risposta sarà "hahahahaha che cosa patetica". Ne possiamo parlare.
Questo approccio ha molti difetti: non è chiaro quanto sia vero che questa è davvero una fondazione. Quello che si può dire "non piace" ai matematici che non sanno la teoria delle categorie, perché i teoremi sono meno potenti (si può misurare con una certa precisione quanto meno). Ciò significa che l'analisi funzionale viene peggio, la teoria delle equazioni differenziali, la fisica matematica, la combinatoria, sono più difficili da dire, e certi teoremi smettono di essere dimostrabili perché il linguaggio è meno potente. Che schifo, per chi vuole che la matematica distrugga tutto come un martello!
Sotto questo aspetto, la comunità di teoria delle categorie applicata sta facendo progressi enormi: stiamo a vedere, è nata da un paio d'anni. Ma la sensazione è che sia un momento di svolta, perché al momento la volontà è di parlare "di tutto quello di cui fino a ieri CT non parlava": genetica, teoria dei giochi, analisi stocastica, teoria della misura, combinatoria, teoria delle stringhe e gravità quantistica, sistemi dinamici, criptovalute, diagrammi di flusso del segnale, reti neurali, blockchain, machine learning, neuroscienze, linguistica... (non sto citando cose a caso, ho un paper o un cluster di articoli in mente per ciascuno di queste aree di ricerca, sto solo evitando di piazzare 120 link; chi vuole, chieda). Non sono lavori che cambieranno la vita a chi fa teoria dei giochi da 40 anni, e per ora non sembra esserci una relazione tra ciò che il resto del mondo chiama teoria dei giochi e ciò che i categoristi chiamano teoria dei giochi, quindi temo che la vostra risposta sarà "hahahahaha che cosa patetica". Ne possiamo parlare.
3.
Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.
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Questa è una vulgata che capisco da dove venga, ma che sono un po' stanco di sentire in giro: c'è la sensazione che CT sia un modo di svicolare dal fare "matematica vera" (perché la matematica vera deve essere difficile, no? Se non è astrusa e incomprensibile non è giusta). C'è un limite invalicabile alla possibilità di rendere strutturale la matematica? Sì, forse. Ma non è un buon motivo per smettere di assestarlo più in là possibile, come penso concorderai. Soprattutto, quello che porti tu è un esempio della fallacia che si chiama "cherrypicking": hai scelto un problema aperto che non ha niente di strutturale, perché è specifico di un singolo numero intero, e hai chiesto: perché col 6 è diverso? Vedi che le tue categorie non mi sanno rispondere? Vedi che con la teoria delle categorie non si può rispondere a tutte le domande e non si possono fare tutti i conti? Lo vedo, sì, ma non vedo cosa questo dimostri: si può distinguere il numero 6 dal numero 7 in teoria delle categorie, ma il punto è che "numero", "sei" e "sette", in teoria delle categorie sono oggetti puramente sintattici: è il contesto a incarnare questa sintassi in una semantica, a dare significato ai simboli. Il linguaggio è più povero, perché ora non si parla più di un numero 6, ma di "qualsiasi cosa il numero 6 significhi, in relazione al contesto dove esso è inserito"; ovviamente si può rendere un teorema questo virgolettato, ma farlo richiede spazio. Dirò di più se vi interessa. Quando interpreti "6" nel contesto classico, poi, torni ad avere quello che avevi prima, e devi dimostrare quello che dovevi dimostrare prima.
Ciò che la teoria delle categorie fa non è dimostrare perché \(S_6\) rompe un pattern altrimenti perfetto, e cos'ha di speciale il numero 6 rispetto agli altri; nello stesso senso, il motivo per cui esistono solo quelle algebre di divisione su \(\mathbb R\) non è categoriale, ma algebrico/combinatorio. E parliamo del solito esempio: il motivo per cui i gruppi di omotopia delle sfere sono un carnaio infernale privo di qualsiasi regolarità, apparentemente lontano da qualsiasi possibilità di essere imbrigliato in un teorema generale... questo non ha niente a che fare con le categorie, ma ha spronato molta ricerca in teoria delle categorie. Non puoi rispondere agilmente alla singola domanda che hai posto tu usando le categorie; così come non puoi agilmente piantare un chiodo su un muro usando un trapano. Del resto le categorie sono trapani che possono trasformarsi in molti altri oggetti.
E se tiri la coperta da un lato la allunghi dall'altro: il linguaggio dice di meno, ma dice "molto meglio" le cose, perché la logica di fondo è inerentemente costruttiva; si è liberata di una parte di risultati, ma quello che può dimostrare, può proprio farti vedere concretamente come è fatto in ogni sua parte; nello stesso senso della matematica costruttiva, perché la matematica scritta nel linguaggio delle categorie è forzata a esserlo.
Ciò che la teoria delle categorie fa non è dimostrare perché \(S_6\) rompe un pattern altrimenti perfetto, e cos'ha di speciale il numero 6 rispetto agli altri; nello stesso senso, il motivo per cui esistono solo quelle algebre di divisione su \(\mathbb R\) non è categoriale, ma algebrico/combinatorio. E parliamo del solito esempio: il motivo per cui i gruppi di omotopia delle sfere sono un carnaio infernale privo di qualsiasi regolarità, apparentemente lontano da qualsiasi possibilità di essere imbrigliato in un teorema generale... questo non ha niente a che fare con le categorie, ma ha spronato molta ricerca in teoria delle categorie. Non puoi rispondere agilmente alla singola domanda che hai posto tu usando le categorie; così come non puoi agilmente piantare un chiodo su un muro usando un trapano. Del resto le categorie sono trapani che possono trasformarsi in molti altri oggetti.
E se tiri la coperta da un lato la allunghi dall'altro: il linguaggio dice di meno, ma dice "molto meglio" le cose, perché la logica di fondo è inerentemente costruttiva; si è liberata di una parte di risultati, ma quello che può dimostrare, può proprio farti vedere concretamente come è fatto in ogni sua parte; nello stesso senso della matematica costruttiva, perché la matematica scritta nel linguaggio delle categorie è forzata a esserlo.
4. La tendenza velleitaria e un po' superomistica dei categoristi a voler dire tutto con le categorie, e quello che non riesci a dire con le categorie non è nemmeno matematica.
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Ok, bene, parliamone: ma questo lato della storia aprirebbe una parentesi molto ampia su diversi temi che qui dentro sono "caldi"; c'è qui dentro la sensazione che la teoria delle categorie sia una matematica di second'ordine perché riesce a dire di meno, o perché la sua comunità è fatta da gente poco raccomandabile. Entrambe le cose sono vere, ma bisogna fare dei distinguo. Almeno due: il primo, chi fa teoria delle categorie molto spesso non lo fa né perché gli viene bene, né perché gli piace (cioè né per piacere né per convenienza); sente, piuttosto, intimamente in sé stesso, che sia "giusto" fare matematica in quel modo. Opinabile, condivisibile, orripilante... scegliete voi. Ma spero che questa discussione vi faccia scegliere perché vi siete informati, non perché un moderatore di un forum vi dice cosa deve piacervi, o perché un categorista vi ha molestato.
Secondo distinguo: la teoria delle categorie dice una cosa che i matematici tendono a non capire bene, e che genera questa confusione: tutta la matematica che un professore associato a Berkeley che si occupa di, diciamo, combinatoria, o sistemi dinamici ha visto nella sua carriera, tutta quella che ha prodotto, che i suoi colleghi gli hanno insegnato, che lui ha insegnato ai suoi studenti, su cui ha formulato congetture entusiasmanti... tutta quella matematica succede dentro una sola categoria. Io ne conosco almeno due, e conosco dei modi per prendere la matematica nel suo complesso, ossia l'intera teoria dei gruppi, l'intera teoria degli anelli, l'intera teoria di Galois, l'intera topologia algebrica, e portarla da una categoria all'altra. In questo senso la teoria delle categorie "è più grande della matematica nel suo complesso"; ma ancora una volta, questa non è la velleità di grandezza di un giovane imberbe: è un teorema, una cosa che si può formalizzare e dimostrare.
Il punto, che è anche ciò che i matematici tendono a non capire bene, e che senza la teoria delle categorie non si riesce nemmeno a enunciare, è, tenetevi forte, che
le teorie matematiche sono oggetti matematici
e in quanto tali sono passibili dello stesso studio di cui sono passibili gli oggetti di cui quelle teorie parlano. Ovviamente questo è impreciso, perché scopre il fianco a paradossi terribili: altrettanto ovviamente, il motivo per cui sto essendo impreciso è che l'idea è molto piu importante della sua formalizzazione. Chi vuole la formalizzazione, la chieda e la avrà.
Prevedibilmente, gli oggetti matematici sono proprio le categorie, che di CT sono l'oggetto di studio: "la teoria dei gruppi" è quell'oggetto matematico che chiamo la categoria dei gruppi. Ma posso andare più in là e definire una "teoria" come una particolare categoria \(\mathbb T\), e considerare i suoi "modelli", ossia i modi di realizzare la teoria \(\mathbb T\) "dentro" un'altra categoria, per esempio quella degli insiemi, o quella dei gruppi abeliani, etc. Allora, se chiamo questi modelli "funtori", e scrivo \(\mathbb T \to \text{Set}\) per uno di tali funtori, la totalità di questi modelli forma una categoria che "dice le stesse cose che la matematica classica dice sulla teoria che corrisponde a \(\mathbb T\)". Incidentalmente "l'unificazione della matematica attraverso blabla" è una generalizzazione di questo problema: se scrivo \((\mathbb T, \text{Set})\) per la categoria dei modelli di \(\mathbb T\), cosa implica aver trovato che \((\mathbb T, \text{Set}) \cong (\mathbb S, \text{Set})\)? Quanto si somigliano due teorie che hanno gli stessi modelli?
Niente più e niente meno che un teorema del tipo: se due gruppi agiscono nello stesso modo sugli stessi insiemi, quanto distanti sono quei gruppi? Solo che qui non si parla di gruppi, ma di teorie matematiche nella loro interezza; e non di fumosi concetti da filosofo, no, sono definizioni precise, che parlano con rigore di cose che senza questo linguaggio non è nemmeno pensabile dire.
Se fosse adeguato al contesto dire che la teoria delle categorie è "tutta qui", direi che è "tutta qui", perché l'idea è davvero tutta qui.
Ma non è tutta qui perché è tanta roba, molta più di quella che alcuni matematici che preferiscono fare le cose in piccolo vedranno in un'intera carriera (questo non è un giudizio di valore: significa solo che il numero 36 è più grande del 10).
Secondo distinguo: la teoria delle categorie dice una cosa che i matematici tendono a non capire bene, e che genera questa confusione: tutta la matematica che un professore associato a Berkeley che si occupa di, diciamo, combinatoria, o sistemi dinamici ha visto nella sua carriera, tutta quella che ha prodotto, che i suoi colleghi gli hanno insegnato, che lui ha insegnato ai suoi studenti, su cui ha formulato congetture entusiasmanti... tutta quella matematica succede dentro una sola categoria. Io ne conosco almeno due, e conosco dei modi per prendere la matematica nel suo complesso, ossia l'intera teoria dei gruppi, l'intera teoria degli anelli, l'intera teoria di Galois, l'intera topologia algebrica, e portarla da una categoria all'altra. In questo senso la teoria delle categorie "è più grande della matematica nel suo complesso"; ma ancora una volta, questa non è la velleità di grandezza di un giovane imberbe: è un teorema, una cosa che si può formalizzare e dimostrare.
Il punto, che è anche ciò che i matematici tendono a non capire bene, e che senza la teoria delle categorie non si riesce nemmeno a enunciare, è, tenetevi forte, che
le teorie matematiche sono oggetti matematici
e in quanto tali sono passibili dello stesso studio di cui sono passibili gli oggetti di cui quelle teorie parlano. Ovviamente questo è impreciso, perché scopre il fianco a paradossi terribili: altrettanto ovviamente, il motivo per cui sto essendo impreciso è che l'idea è molto piu importante della sua formalizzazione. Chi vuole la formalizzazione, la chieda e la avrà.
Prevedibilmente, gli oggetti matematici sono proprio le categorie, che di CT sono l'oggetto di studio: "la teoria dei gruppi" è quell'oggetto matematico che chiamo la categoria dei gruppi. Ma posso andare più in là e definire una "teoria" come una particolare categoria \(\mathbb T\), e considerare i suoi "modelli", ossia i modi di realizzare la teoria \(\mathbb T\) "dentro" un'altra categoria, per esempio quella degli insiemi, o quella dei gruppi abeliani, etc. Allora, se chiamo questi modelli "funtori", e scrivo \(\mathbb T \to \text{Set}\) per uno di tali funtori, la totalità di questi modelli forma una categoria che "dice le stesse cose che la matematica classica dice sulla teoria che corrisponde a \(\mathbb T\)". Incidentalmente "l'unificazione della matematica attraverso blabla" è una generalizzazione di questo problema: se scrivo \((\mathbb T, \text{Set})\) per la categoria dei modelli di \(\mathbb T\), cosa implica aver trovato che \((\mathbb T, \text{Set}) \cong (\mathbb S, \text{Set})\)? Quanto si somigliano due teorie che hanno gli stessi modelli?
Niente più e niente meno che un teorema del tipo: se due gruppi agiscono nello stesso modo sugli stessi insiemi, quanto distanti sono quei gruppi? Solo che qui non si parla di gruppi, ma di teorie matematiche nella loro interezza; e non di fumosi concetti da filosofo, no, sono definizioni precise, che parlano con rigore di cose che senza questo linguaggio non è nemmeno pensabile dire.
Se fosse adeguato al contesto dire che la teoria delle categorie è "tutta qui", direi che è "tutta qui", perché l'idea è davvero tutta qui.
Ma non è tutta qui perché è tanta roba, molta più di quella che alcuni matematici che preferiscono fare le cose in piccolo vedranno in un'intera carriera (questo non è un giudizio di valore: significa solo che il numero 36 è più grande del 10).
5. In CT non si fanno conti, è tutto un muovere le mani.
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Martino (et al.), tu non hai idea di quanti conti meschini faccia un categorista nella sua giornata tipo. Parlo proprio dell'equivalente tecnico di fare esercizi di analisi 1, integrali lunghi e difficili per cui devi "sapere il trucco" e che non hanno assolutamente nulla di concettuale. Quello che rende la teoria delle categorie un po' diversa dal resto della matematica è che spesso questo è solo un modo di agire tra tanti. Puoi fare i conti per dimostrare il teorema A, nessuno te lo impedisce, ma se sai cosa dire, la ragione per cui è vero il teorema A è il fatto che qualcosa di molto più in alto ne impone la verità. Hai accesso a quel che vedono le formiche? No. E' un limite? Sì (o meglio: dipende). Ha dei pregi? Certo, ti sono già evidenti. Fare degli esempi significa entrare nel merito tecnico: lo farò, se mi è permesso.
6. In sintesi.
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La matematica è quella cosa che si fa nelle categorie, e per ogni teoria matematica serve una classe di categorie diversa. Allora tanto vale studiarle tutte. E quella parte di matematica che si occupa di studiare le categorie, cioè le varie parti della matematica come singoli oggetti matematici nella loro mutua interazione come si chiamerà?