Visualizzare la retta reale

[michele_7483]

Ma l'OP vuole sapere il colore di una retta reale nel senso di linea fisica o della retta reale intesa come insieme dei numeri reali?

Insieme dei numeri reali

[gugo82]

Credevo di aver risposto qualcosa ieri, ma si vede che non ho inviato...

Ad ogni buon conto, come dicevo sopra, la domanda non ha nulla di matematico a meno di non specificare cosa si intende fare e come lo si intende fare.
Diciamo di avere due colori, identificati con $0$ ed $1$ (e.g., $0 = "nero"$, $1 = "bianco"$), e diciamo che ad ogni $0<lambda<1$ corrisponda un tono intermedio (di grigio, nel caso). Associamo, per esempio, ad ogni $x in QQ$ il colore $0$ e ad ogni $x in RR\setminus QQ$ il colore $1$.

Scegliere un colore per $E subseteq RR$ equivale ad associare ad $E$ un unico valore in $[0,1]$.
Se vogliamo colorare un sottoinsieme $E$ finito e non vuoto possiamo scegliere il valore $lambda = lambda(E)$ in una maniera abbastanza naturale, ad esempio prendendo:

(C) $lambda(E) = |E\setminus QQ|/|E|$

(qui $|*|$ è il numero di elementi di un insieme); in questo modo:

• $lambda(E) = 1$ solo se $E sub RR\setminus QQ$ (tutti gli elementi di $E$ sono irrazionali),
  
  
• $lambda(E) = 0$ solo se $E sub QQ$ (tutti gli elementi di $E$ sono razionali),
  
  
• $0< lambda(E) < 1$ se $E nn QQ != emptyset != E \setminus QQ$ (alcuni elementi di $E$ sono razionali ed alcuni sono irrazionali).

Se l'insieme $E$ può essere infinito, l'attribuzione di un colore si scontra col fatto che il rapporto (C) non ha sempre significato.
In questi casi bisogna ricorrere a strumenti più sofisticati che consentano (al posto del numero di elementi $|*|$) di misurare la "grandezza" $g(*)$ dell'insieme $E$ e dell'insieme $E \setminus QQ$, in modo da riuscire a definire:

$lambda(E) = (g(E \setminus QQ))/(g(E))$;

oppure si abbandona l'idea di descrivere il colore $lambda$ in quella maniera lì e si prende un'altra strada che usi direttamente strumenti di teoria della misura e che non contenga necessariamente qualche analogo del rapporto (C).

Il problema è che l'insieme $QQ$ è -in molti e differenti modi- "mooolto più piccolo" dell'insieme $RR \setminus QQ$, quindi diventa anche difficile capire come stimare il contributo di $E nn QQ$ e di $E \setminus QQ$ al colore complessivo di $E$.