Teoria dei numeri

[Cosimo00110]

ciao, volevo chiedere a voi quali sono i risultati principali in (1)Algebraic (2)Geometric (3)Analytic Number Theory
ed anche le congetture principali. So che è una domanda un pò vasta, forse sono io ma sul web non trovo risposte se non degli accenni, ed io voglio comprendere di cosa si occupano questi settori.

Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.

vi ringrazio

[Martino]

Ciao, ti segnalo questa lista di teoremi e congetture e anche il cosiddetto programma di Langlands (Langlands program, cercalo su Google).

[gabriella127]

Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.

Non ti preoccupare di MathStackExchange, sono una gabbia di matti scortesi, fanno delle cose assurde.

[3m0o]

Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.

Non ti preoccupare di MathStackExchange, sono una gabbia di matti scortesi, fanno delle cose assurde.

Non è assolutamente vero, è pieno di gente in gamba che ne sa davvero molto! Però non è un forum è concepito in modo diverso

[gabriella127]

Certo che è pieno di gente in gamba ed è molto utile e interessante, ma a livello di moderazione (non i moderatori, ma gli utenti che hanno i privilegi vari di chiudere, cancellare, etc., che sono tanti ) fanno assurdità e sono frettolosi e scortesi.
Tu forse non te ne accorgi, perché interagisci a un livello alto, ma a livello più basso è diverso, ci sono anche un sacco di critiche e di lamentele su MetaStackExchange.
E addirittura è un sito che viene valutato negativamente in non mi ricordo quale sistema di valutazione, per le barriere all'ingresso, fatte spesso di comportamenti arbitrari e scortesi.
Certo, è diverso da un Forum, io lo conosco bene perché ho frequentato parecchio EconomicSE e quello di Storia della scienza.

[Cosimo00110]

Grazie

@Martino, ti ringrazio per il link, però io cerco più una guida per capire le differenze degli argomenti di studio dei 3 settori principali della tdn (algebrico, geometrico, analitico) dei vari risultati e congetture, nel link ci sono molte congetture e risultati ma rientrano tutte sotto il nome generico tdn ed io non ho le conoscenze per dividere i risultati nei tre campi da me citati.

@gabriella127 si, ho notato

@3m0o io la penso diversamente a riguardo (cioè ci saranno pure persone di spessore all'interno) ma la maggior parte sono dei nevrotici pazzoidi, a come la vedo io

[Il_Gariboldi]

Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.

Manco farlo apposta ne parlavo poco fa https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7#p8622117

[hydro]

ciao, volevo chiedere a voi quali sono i risultati principali in (1)Algebraic (2)Geometric (3)Analytic Number Theory
ed anche le congetture principali. So che è una domanda un pò vasta, forse sono io ma sul web non trovo risposte se non degli accenni, ed io voglio comprendere di cosa si occupano questi settori.

Ho provato a chiedere su Math stack exchange ma loro sono dei figli di satana, devono bruciare tutti perchè mi hanno chiuso la domanda, dopo avermela votata negativamente.

vi ringrazio

E' una domanda un po' complessa perchè i risultati si sono stratificati nel corso degli anni, e alcune cose assolutamente fondamentali, come il teorema di Mordell-Weil o il teorema di Dirichlet sui primi in progressione aritmetica sono considerati risultati classici ormai, e fanno parte della teoria di base. Inoltre distinguere tra algebraic number theory e geometric number theory ha poco senso; diciamo che la divisione generale è tra geometria aritmetica/teoria algebrica dei numeri (che sono aree legate a doppio filo) e teoria analitica dei numeri. Oltretutto alcune congetture fondamentali, tra cui il programma di Langlands citato da Martino e la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer sono a cavallo tra le due discipline.

Tutta la teoria dei numeri prende spunto dalla domanda molto generale e anche molto vaga di "comprendere le proprietà dei numeri interi/razionali". Dal lato algebrico, questo si concretizza nello studio delle soluzioni intere e razionali dei sistemi di equazioni polinomiali. Ovviamente anche questo è piuttosto vago, perchè le domande che ci si può porre sono un'infinità. Partendo dalle equazioni in una variabile, si arriva allo studio dei campi di numeri e delle loro proprietà. Qui risultati fondamentali (e super classici) sono (ad esempio, ma ce ne sono altri) il Teorema di Dirichlet sulle unità, la finitezza del gruppo delle classi, il teorema di densità di Chebotarev, la class field theory e la teoria di Iwasawa. In un cross-over con la teoria analitica dei numeri, anche la analytic class number formula. Tra le congetture più importanti sicuramente la congettura di Leopoldt.

Passando alle equazioni polinomiali in due variabili a coefficienti razionali, come $x^2+y^3-1=0$, ci si può chiedere quante soluzioni razionali abbiano, in prima istanza. Questa è una domanda a cui oggi sappiamo rispondere con precisione, grazie al Teorema di Faltings, indubbiamente uno dei risultati più importanti degli ultimi 40 anni. Invece trovare un algoritmo per determinare le soluzioni è una domanda aperta. Sicuramente i risultati più importanti in questa direzione sono il metodo di discesa per curve ellittiche e il metodo di Chabauty Coleman per curve di genere più alto. Un'altra domanda strettamente legata è quanto sia uniforme il numero di soluzioni, ovvero data un'equazione in due variabili, quante soluzioni si trovano variando i coefficienti (detto in modo molto brutale e anche sbagliato). Qui c'è una grossa congettura di uniformità, su cui peraltro è stato fatto un enorme passo avanti molto recentemente grazie a Dimitrov, Gao, Habegger e Kuhne. Le equazioni della forma $y^2=x^3+ax+b$ danno luogo a quelle che si chiamano curve ellittiche, ed hanno una quantità di proprietà speciali; in primis le soluzioni si possono sommare tra di loro trovando un'altra soluzione. Qui i risultati importanti e le congetture si sprecano. Sicuramente il primo risultato fondamentale è il teorema di Mordell-Weil. Negli ultimi 40 anni direi che i risultati più importanti sono stati il teorema di Gross-Zagier, il teorema di modularità e il risultato di Bhargava-Shankar sulla limitatezza del rango medio delle curve ellittiche. Senza ombra di dubbio la congettura più importante riguardo alle curve ellittiche è quella di Birch e Swinnerton-Dyer, che è anche uno dei problemi del millennio. Strettamente imparentata, c'è la finitezza del gruppo di Shafarevich-Tate. Poi ci sono varie congetture sulla modularità ed altre, più o meno folkloristiche, sulla limitatezza del rango e sul rango medio, come la congettura di Goldfeld.

Quando il numero di variabili e di equazioni si alza le cose diventano drasticamente più difficili. La congettura più importante è probabilmente quella di Bombieri-Lang, essenzialmente un analogo multidimensionale del teorema di Faltings. Qua però non sono tanto ferrato sui risultati più importanti.

Infine esiste un'ampia area di ricerca sulle cosiddette "intersezioni anomale" che studia (in un certo senso) la forma delle soluzioni delle equazioni sopracitate. Per esempio, è un teorema classico di Lang che se $f(x,y)=0$ ha infinite soluzioni $(x,y)$ con $x$ e $y$ radici dell'unità, allora $f(x,y)=ax^m+bx^n$ oppure $f(x,y)=cx^ny^m+d$. Questo è stato il punto di partenza per una rete di risultati che ha portato a dimostrare, ad esempio, la congettura di Manin-Mumford. La congettura fondamentale di quest'area di ricerca è la congettura di Zilber-Pink

La teoria analitica dei numeri si concentra invece sulle proprietà statistiche dei numeri interi, ed usa strumenti di analisi. Non c'è dubbio che le due congetture più importanti siano l'ipotesi di Riemann e la congettura abc, anche se quest'ultima è strettamente legata alla teoria algebrica dei numeri. Più folkloristiche ma altrettanto famose sono la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli. Riguardo a quest'ultima c'è stato un enorme breakthrough una decina di anni fa da parte di Zhang, poi ulteriormente migliorato da Tao, Maynard e un progetto condiviso di diversi matematici. Di nuovo non sono particolarmente ferrato sui risultati più importanti della teoria analitica dei numeri perchè non è il mio ambito, ma sicuramente il teorema di Dirichlet sui primi in progressione aritmetica, il teorema dei numeri primi, il teorema di Green-Tao sulle progressioni aritmetiche nei primi.

Sicuramente sto dimenticando una marea di cose, per esempio la teoria dei numeri trascendente. Se hai domande più specifiche posso aiutarti meglio.

[Martino]

@3m0o io la penso diversamente a riguardo (cioè ci saranno pure persone di spessore all'interno) ma la maggior parte sono dei nevrotici pazzoidi, a come la vedo io

Sono molto in disaccordo con il tuo approccio generale all'argomento, math stack exchange è uno dei migliori siti di matematica, se non il migliore, perché l'utente medio di quel sito è un ricercatore o comunque qualcuno che fa ricerca attivamente, e le risposte, quando sono ben valutate, sono veramente ottime. D'altra parte, non è il tipo di sito dove troverai calore umano. Se scrivi una domanda troppo vaga (e ti informo che la tua domanda è troppo vaga) verrà chiusa, ma niente ti impedisce di lavorarci sopra e scrivere una domanda più specifica. Questo forum invece (Matematicamente) è un forum di discussione di più ampio respiro e il tuo tipo di domanda (troppo vaga) si adatta meglio qui perché troverai opinioni diverse, controdomande, richieste di chiarimenti eccetera. In parole povere, qui su matematicamente nessuno è contrario a domande troppo vaghe, mentre su stack exchange sono contrari a domande troppo vaghe.

[Il_Gariboldi]

ma niente ti impedisce di lavorarci sopra e scrivere una domanda più specifica

Verissimo, ma infatti poi ti aiutano a correggere il tiro. E dopo qualche errore capisci e ti allinei. Però, a sentimento, preferisco come punto di scambio (culturale) i forum.
Inoltre, ho trovato la grafica molto dispersiva: post grandi piccoli, di lato a dx sx... non so, forse è abitudine al nostro ma non mi piace quel tipo di layout.

Per il resto in realtà risposte sbagliate ci sono, ad esempio su 3/4 ricevute 2 erano davvero molto imprecise.
Forse preferisco usarlo passivamente, mi è capitato molte volte di ricevere notevole aiuto, non posso negarlo (con passivamente intendo con domande poste da altri per cui c'erano risposte che erano veri gioiellini).