Probabilità de "il gioco dei pacchi"

[garante]

Qualche giorno fa facendo zapping (non guardo mai la tv) mi sono soffermato su un concorso della rai, di cui onestamente non so il nome ma nel quale mi pare 20 concorrenti hanno dei pacchi da aprire nel corso della trasmissione. E mi ha incuriosito il modo di procedere dei concorrenti. Mi spiego...

Disclaimer: inizio col dire che la mia domanda è da completo ignorante in probabilità perché non l'ho mai studiata provenendo da un classico ed essendo al primo (mezzo) anno di fisica. Ho fatto giusto analisi e geometria.

Ad ogni modo, ho notato che riguardando il programma alcune sere apposta per curiosità i concorrenti arrivano, dopo varie aperture dei pacchi, al termine con due pacchi contenenti di solito una somma consistente e uno poche decine di euro. A questo punto gli si fa una proposta se mantenere il pacco o cambiarlo. Ora i miei dubbi:

Per semplificare i ragionamenti mettiamo che ogni pacco contenga da 1 a 20 euro.

assumiamo ad esempio i concorrenti giungano alla fine con due pacchi (uno con 20€ e uno 1€) gli si propone se cambiarlo prima dell'apertura finale.

1) sebbene dopo varie aperture è vero che so che uno dei due pacchi avrà 1 euro e l'altro 20 euro, mi sembra che non cambiare faccia del pacco in mio possesso che abbia una probabilità su venti di contenere 20 euro e una su venti di contenere 1€.
Questo a intuito; ma non sono convinto sia corretto perché: se così fosse dovrebbe anche contenere x€ con $x in(2,..,19)$€ con probabilità 1/20 ma è evidente non sia così dato che gli altri numeri (indicati con x) sono stati tolti dal gioco quindi che senso ha dire 3 ha probabilità 1/20 di essere nel mio pacco se di fatto NON PUO' esserci?
Mi chiedo: come metto a posto questa cosa? Cioè voglio dire dovrebbe avere 1/20 come probabilità il pacco di contenere 1 o 20 euro, ma per un numero (1 or 20) che compare $1^a$ su $2$ volte in realtà dato che i restanti non ci sono più. Mi sembra di incartarmi in questo punto emi chiedo quindi se 1 e 20 rimangano con probabilità 1/20 di essere nel mio pacco e se è così perché?

2) proseguiamo, mettiamo ora entri un concorrente ignaro di tutto il percorso fin qui svolto, egli scelgliendo a caso tra i due pacchi rimasti avrà evidentemente invece 1/2 probabilità di vincere 20€ 1/2 di vincere 1€ (quindi perdere 20€). Insomma, uno ignaro ha più probabilità di quello che si tiene il pacco stretto fin dall'inizio direi (sbaglio?)

3) infine se il primo concorrente del punto (1) scegliesse di prendere il pacco rimasto diverso dal suo (cioè accettasse lo scambio di pacco), beh allora qui avrebbe molta più probabilità di vincere! Però ammetto che affermo questo solo per intuizione e mi piacerebbe però capire come si calcoli concretamente questo caso probabilisitco.

Detto ciò, tutti i concorrenti visti si tenevano il pacco iniziale seguendo l'emozione e l'affezione alludendo a "pacco fortunato". Io avrei cambiato

Voi che ne pensate? Grazie.

[axpgn]

Al di là degli aspetti matematici, che qualcun altro ti illustrerà molto meglio di me , dimentichi che "dietro" i pacchi c'è una persona che ne conosce il contenuto e questo fa tutta la differenza del mondo.

[garante]

Vero, allora mettiamo come ipotesi aggiuntiva anche che sia del tutto casuale il processo, per semplificare

[Gi8]

Nel seguito parlo da un punto di vista della sola probabilità.

Siamo al punto in cui sono rimasti 2 pacchi, uno da 1€ e uno da 20€.
Tutto ciò che è avvenuto prima è ininfluente per fare le valutazioni finali. Perché non ci sono legami né vincoli con i pacchi già aperti.

Il gioco, nel punto in cui siamo ora, è il seguente: ci sono due pacchi, uno da 1€ e uno da 20€.
- la probabilità che nel nostro pacco ci siano 20€ è 1/2;
- la probabilità che nel nostro pacco ci sia 1€ è 1/2.

Cambiare pacco o non cambiarlo è ininfluente.

[garante]

In effetti, ri-ragionando su quello che ha detto axpgn, credo che le soluzioni siano distinte se:
- le aperture sono andate a caso e quindi ricado nel caso di gi8
- se invece sono state guidate, ad esempio scegliendo di aprire i pacchi con premi minori, allora in quei casi cambia, un po come nel https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall (che ho appena scoperto googlando per rispondermi)

Voglio cioè dire, mettiamo di essere arrivati agli ultimi 3 pacchi: e che siano rimasti 1,2,20€

- seguendo la strategia di gi8 se viene aperto il terzultimo pacco a caso (e mettiamo esca 2) allora ho probabilità che esca 1 euro di 1/2 e 20 di 1/2.
- se però chi sceglie sa il contenuto dei pacchi allora quello non funziona più. Mettiamo la sua strategia sia scegliere il pacco dal contenuto intermedio tra quelli rimasti, quindi toglie il pacco da 2 euro (appositamente) a quel punto le probabilità sono ben diverse per 20 e 1 euro e non sono più equamente 1/2 (come nel link).

[Faussone]

Certo che fa comunque una enorme differenza il considerare lo storico o no. E soprattutto va precisato come la situazione si è evoluta dall'inizio.
Se si arriva alla fine e si vede quindi solo la situazione finale, per esempio due pacchi rimasti, è ovvio che la probabilità di vincere nel cambio o no resta comunque 1/2.
Se invece si guarda la situazione dall'inizio, si suppone per esempio ci sia un solo pacco vincente e che gli altri siano scarti, se si arriva a avere 2 pacchi perché gli altri sono stati aperti da chi conosce dove sia il pacco vincente la probabilità di vincere è enormemente più alta cambiando il pacco, se si è partiti da 20 pacchi iniziali.
Si riduce appunto in pratica al classico problema di Monty Hall.

[garante]

Sì, la cosa che mi lasciava all'inizio allibito era che non coglievo la differenza del seguente fatto, riportiamoci al caso monty per semplicità:
- se il concorrente sceglie una porta all'inizio e poi il conduttore (che ipotizziamo in tal caso sappia il valore di ogni porta) apre una delle due che non ha una vincita allora è ovvio che la probabilità cambiando porta/pacco è di 2/3 sulla nuova porta e 1/3 mantenendola.
- facevo un errore nel caso dei pacchi che è un po' il seguente: se io scelgo una porta casuale delle tre all'inizio poi procedendo col gioco il conduttore (che non conosce ciò che sta dietro la porta, questa volta) ne apre una (a caso anche per lui) che scopriamo non avere dietro di sé la vincita, allora a quel punto mi dicevo beh cambiare porta mi dà sempre il vantaggio di prenderne una che ha probabilità 2/3 di vincita perché escludo una porta che inizialmente in potenza poteva essere sia vincente che non e mi riduco a due porte la prima scelta a 1/3 e la seconda se cambio scelta a 2/3. E invece no, se il conduttore apre a caso è 1/2 come dice gi8.

Devo ammettere che questa cosa mi infastidisce ancora un attimo, perché non capisco appieno il motivo, infatti il risultato mi pare il medesimo: ho tolto una porta che non era vincente e mi sembra di finire nella stessa situazione nei due casi, ma ci sto ragionando

[Faussone]

Ci sono tanti modi di ragionare uno è questo qui di seguito.

Supponiamo il caso di Monty Hall e che ti ritrovi a scegliere se cambiare porta nel caso che sia stato il conduttore a aprire prima una delle altre due porte sapendo quale sia la porta vincente, allora siamo al caso classico e conviene cambiare porta.

Nel caso sei stato tu invece ad aprire una delle altre due porte che non avevi scelto e che in quella hai trovato per caso una capra devi confrontare due casi:

1) avevi scelto dall'inizio la porta vincente;
2) avevi scelto la porta perdente e poi tra le altre due porte hai scelto quella con la capra (l'altra aveva il premio evidentemente).

La probabilità di 1) è ovviamente 1/3
La probabilità di 2) è 2/3 (probabilità di aver preso una delle due capre all'inizio) moltiplicato per 1/2 (probabilità di beccare tra le due porte rimaste quella con la capra). Insomma la probabilità è ancora 1/3.

Quindi i due scenari hanno stessa probabilità, pertanto cambiare o non cambiare porta non cambia la probabilità di vincere.

[garante]

La probabilità di 1) è ovviamente 1/3
La probabilità di 2) è 2/3 (probabilità di aver preso una delle due capre all'inizio) moltiplicato per 1/2 (probabilità di beccare tra le due porte rimaste quella con la capra). Insomma la probabilità è ancora 1/3.

Non capisco solo una cosa, ma quindi ho $1/3$ tenendo e $1/3$ cambiando, ma così facendo $1/3+1/3!=1$, per quello pensavo di trovarmi 1/2 e 1/2.
Così facendo è come se asserissi che vinco con prob. 1/3 e perdo con prob 1/3 e l'altro terzo cosa succede? D:
Non ho capito come aggiustare questa normalizzazione.

[Faussone]

Bè l'altro 1/3 è il caso in cui non becchi la porta vincente all'inizio e poi tra le altre due porte apri quella con il premio.

Nel caso di molte più porte con una sola vincente, o tanti pacchi e uno solo vincente, alla fine la probabilità di beccare il pacco vincente subito e quella di non beccare il pacco vincente, ma di scegliere a caso sempre i pacchi non vincenti fino a restare con solo due pacchi (o porte), sono le stesse. Sono entrambe piccole ma uguali, è molto più probabile insomma non beccare il pacco vincente e poi di non arrivare a rimanere con 2 pacchi, che di riuscire a arrivare alla situazione con soli 2 pacchi avendo aperto a caso tutti gli altri. ...ma nel caso ci si arrivi a quel punto non fa differenza cambiare o no pacco.