Probabilità de "il gioco dei pacchi"

[garante]

Comunque leggendo l'articolo di wikipedia sul paradosso di monty (ma anche fonti più sicure: sito di una uni) dice che fece scalpore per via del fatto che alcuni accademici si scagliarono contro Savant che "risolse" il dubbio ad alcuni lettori.

Ma scusate, ma quale accademico potrebbe mai cadere in un tranello così banale? Capisco io che sono un povero idiota, ma di sicuro non un matematico/statistico dai! Bah, quella nota storica mi lascia molto dubbioso , penso sia la base di un corso di probabilità.

[pistacios]

Ah be' non sei il solo

Presente, ho fatto lo stesso errore concettuale di OP .

comunque per chi non si fida basta fare l'esperimento un numero grande di volte e contare le volte che si vince non cambiando porta sulle volte totali: verrà immancabilmente 1/3

Però volevo chiarire meglio riguardo questo, proviamo a studiare il seguente caso: giocatore1 che gioca con le regole di Monty Hall e giocatore2 che arriva a metà gioco come detto alla scelta del pacco con il 50%.

Mi trovo in un dubbio di questo tipo, assumiamo di ripetere molte volte come da te suggerito il gioco e che il giocatore1 tiene sempre la porta1 scelta, in modo ovvio vincerà 1/3 delle volte tenendo porta1 e non cambiando con porta2o3 rimasta.
A questo punto mentre ripetiamo il gioco, arriva sempre alla scelta finale giocatore2 che può scegliere di sua spontanea volontà porta1 o porta2' a caso senza sapere.
Lui dovrebbe vincere 1/2 delle volte.

Allora giocatore1 sceglie di prendere sempre porta1 del primo giocatore, ma non sa lo storico del gioco, secondo la probabilità dovrebbe vincere il 50% delle vole (sceglie porta1 che per lui ha probabilità di vincere 1/2 delle volte), ma chiaramente vincerà 1/3 delle volte.

Questo sembra dare ragione a OP e avvalorare il ragionamento fallace. Cosa sbaglio?

[pistacios]

Mi spiego meglio sull'idea:

viene disposto di volta in volta casualmente il premio dietro le tre porte.
giocatore1 può scegliere una delle tre porte a caso, cioè di volta in volta dice: "porta1, porta2 o porta3" quindi può scegliere ogni volta in modo randomico e vincerebbe 1/3 delle volte tenendola fino alla fine. Ma anche scegliendo sempre porta1 vince 1/3 delle volte e sceglie di operare così, a ogni gioco ripetuto prende la prima porta per valore di 1/3 di vincere e la tiene fino alla fine.

giocatore2 può giocare solo scegliendo portaA o portaB, e sceglie di scegliere sempre la porta1 del giocatore1 (cioè la stessa del primo giocatore), questa scelta dovrebbe portarlo a vittoria il 50% delle volte secondo lui, ma non mi pare così. no?

[Faussone]

.....
giocatore2 può giocare solo scegliendo portaA o portaB, e sceglie di scegliere sempre la porta1 del giocatore1 (cioè la stessa del primo giocatore), questa scelta dovrebbe portarlo a vittoria il 50% delle volte secondo lui, ma non mi pare così. no?

Scusami, ma hai letto lo scambio fin qui? Fa differenza nella probabilità il grado di conoscenza, vedi l'esempio di utente__medio.

Per rispondere alla parte citata il giocatore 2 se ha una conoscenza del meccanismo di selezione ha pure lui 1/3 di probabilità di vincere ovviamente, ma se non conosce quel meccanismo e si trova a scegliere tra due possibilità dedurrà di averne il 50%. Non c'è alcuna contraddizione.

[Faussone]

Ma scusate, ma quale accademico potrebbe mai cadere in un tranello così banale? Capisco io che sono un povero idiota, ma di sicuro non un matematico/statistico dai! Bah, quella nota storica mi lascia molto dubbioso , penso sia la base di un corso di probabilità.

Sono d'accordo, ma sarebbe da vedere come siano andate veramente le cose , quali fossero i termini della contesa e cosa esattamente sia stato sostenuto da chi contestava la soluzione corretta.
Certo è che chi ha un poco di conoscenza di teoria di calcolo delle probabilità non dovrebbe avere grandi difficoltà a indicare la soluzione corretta.

[pistacios]

Non ho ben capito in quale parte del messaggio ho detto che il giocatore due abbia conoscenza di come sono andate le cose.
Ho ipotizzato il caso in cui arriva e non sa come funzioni il gioco, a quel punto decide di prendere la prima porta da sinistra a destra, stessa prima porta che sceglie il giocatore1.

L'idea è questa: il primo giocatore di tre porte in fila sceglie sempre la prima porta a sx, facendo così ha probabilità di vincita di 1/3, esattamente come sceglierne una a caso in modo randomico. Se la tiene fino alla fine ha probabilità 1/3 di vincere anche dopo che monty hall toglie la porta "perdente".
Arriva il giocatore 2, ha di fronte a sé due porte e sceglie sempre la prima a sx, lui dovrebbe vincere per 1/2.

A questo punto si apre la porta selezionata dai concorrenti, e sembra che la natura dica che il premio uscirà ad ogni apertura dell'ultima porta in 1/3 delle volte rispetto all'altra porta rimasta non scelta. Mentre per il giocatore 2 la natura sembra dire che il premio esce al 50%. Ma se apro quella singola porta di sx che è un oggetto il premio deve uscire con una probabilità fissa no?
In sostanza così asserisco in modo assurdo che esce con più probabilità il premio per il giocatore 2 che per l'1 quando si trovano con due sole porte. Non è strano? Vorrei capire l'errore che commetto.

[Faussone]

@pistacios

Nel momento in cui arriva e sceglie la porta non scelta (o scelta) da giocatore1, allora giocatore2 sta usando una conoscenza aggiuntiva, non sta più scegliendo a caso, quindi è logico che altera la probabilità del 50% che ha solo se scegliesse a caso tra le due porte rimaste, indipendentemente dalla scelta di giocatore1.
Può poi non sapere perché logicamente sia meglio non scegliere la porta di giocatore1 ma se usa quella strategia non sta più scegliendo completamente a caso, e può pure non scegliere la porta di giocatore1 diciamo indirettamente come nel tuo esempio, ma comunque non sta più scegliendo completamente a caso.

[pistacios]

Nel momento in cui arriva e sceglie la porta non scelta (o scelta) da giocatore1, allora giocatore2 sta usando una conoscenza aggiuntiva

Questo è molto vero, perché se giocatore2 sceglie appositamente la scelta di giocatore1 ne determina una informazione da esso.
Per questo avevo corretto il mio messaggi così: al momento dell'arrivo di giocatore2 la sua strategia nel dover scegliere una delle due porte: la prima o la seconda (da destra verso sinistra) scegliendo di tenere sempre la prima a sinistra in ogni ripetizione di gioco. Questo non dovrebbe in alcun modo dare conoscenze aggiuntive (era questo il mio "stratagemma"). Voglio cioè dire, se io scelgo a caso tra due porte in modo randomico, o scelgo sempre la prima delle due, se il premio è stato posto dietro di esse a caso io ho probabilità di vincita 1/2 con entrambe le strategie, quindi scelgo di tenere sempre la prima porta di sinistra delle due che ho di fronte.
La porta di sinistra io non so che è la stessa scelta sempre a ogni ripetizione dal giocatore1, che usa la mia stessa strategia (caso vuole).

Bene, così facendo dovrei avere per giocatore1 1/3 se sceglie di non cambiare porta quando proposto da Monty Hall, mentre giocatore2 come detto ha probabilità 1/2.

Però, quando io ripeto il gioco più volete, giocatore2 vincerà meno volte di 1/2, vincerà 1/3, proprio come giocatore1.
E' in questo processo che non riesco a vedere l'errore: dove giocatore2 attinge l'informazione così facendo?

PS: ok forse è quello che tu chiami Indirettamente" questo caso, ma non capisco perché sia un attingere informazione, dato che la scelta è proprio casuale per giocatore2.

[Faussone]

[...] al momento dell'arrivo di giocatore2 la sua strategia nel dover scegliere una delle due porte: la prima o la seconda (da destra verso sinistra) scegliendo di tenere sempre la prima a sinistra in ogni ripetizione di gioco. Questo non dovrebbe in alcun modo dare conoscenze aggiuntive (era questo il mio "stratagemma"). Voglio cioè dire, se io scelgo a caso tra due porte in modo randomico, o scelgo sempre la prima delle due, se il premio è stato posto dietro di esse a caso io ho probabilità di vincita 1/2 con entrambe le strategie, quindi scelgo di tenere sempre la prima porta di sinistra delle due che ho di fronte.
La porta di sinistra io non so che è la stessa scelta sempre a ogni ripetizione dal giocatore1, che usa la mia stessa strategia (caso vuole).

Questo statagemma non cambia lo sostanza: giocatore2 non sta scegliendo del tutto a caso scegliendo sempre la porta di sinistra (ad esempio), che non lo sappia "consciamente" è irrilevante.

EDIT Se giochiamo a "dove sta qui o qua" (devi capire in quale pugno metto una moneta), io potrei mettere sempre la moneta a sinistra. Se tu scegli a caso completamente hai comunque il 50% di probabilita di vincere (il 50% delle volte dirai sinistra l'altro 50% destra), ma se scegliessi sempre sinistra vinceresti sempre e avresti probabilità 1 di vincere quindi. E' lo stesso caso e anche qui non c'è alcuna contraddizione.

[axpgn]

Secondo me l'incomprensione sta qui:
Faussone ha detto "Se fai una simulazione dell'esperimento di Monty Hall vedrai che troverai conferma che è più vantaggioso cambiare".
Ed è così (la feci tanto tempo fa per divertimento)
Pistacios dice "Arriva un estraneo e si trova a dover scegliere tra due porte, sceglie a caso e quindi ha probabilità $1/2$ di vincere. MA la simulazione mi dice che invece non è così. Com'è possibile?"
È possibile in quanto le simulazioni sono DIVERSE e nel secondo caso, se provi a ricrearla (cosa che ho fatto per scrupolo) vedrai che la persona che arriva e sceglie tra due porte vince metà delle volte e contemporaneamente la prima, scambiando, vince due volte su tre.
Ripeto: le simulazioni sono DIVERSE (anche se le puoi ricreare nello stesso gioco contemporaneamente)

Cordialmente, Alex