Probabilità de "il gioco dei pacchi"

[garante]

Bè l'altro 1/3 è il caso in cui non becchi la porta vincente all'inizio e poi tra le altre due porte apri quella con il premio.

Questo mi torna a priori, cioè prima di compiere l'apertura, però mi incasino una volta che apro la terzultima porta. Una volta aperta l'evento di trovare lì il premio non se ne è andato? (ho trovato una capra), quindi non dovrei trovarmi a 1/2 e 1/2 dato che rimango con sole due porte? Intendo ovviamente a posteriori, non all'inizio. Cioè dico una volta aperta la terzultima porta (a caso quindi non con monty) e trovata una capra, allora lì mi ritrovo con due porte/pacchi, ebbene qui ho 1/2 e 1/2. o sbaglio?

Penso che sia qua che mi incasino

[Faussone]

Nel ragionare devi partire dall'inizio e calcolare quale è la probabilità di giungere a quella data situazione (restare con 2 pacchi avendo aperto tutti gli altri senza aver trovato il pacco vincente) considerando tutti i percorsi che possono averla portata. Fatto questo confronti le probabilità di aver fatto ciascun percorso partendo sempre dall'inizio, ma queste probabilità non possono sommare ad 1 perché sono solo un sottoinsieme degli eventi a cui potevi arrivare partendo dall'inizio.
Quindi insomma fai un confronto relativo.

Ovvio che come abbiamo detto se consideri solo la situazione finale in cui hai due pacchi, senza tener conto della evoluzione, le valutazioni possono essere differenti.

[garante]

Sìsì certo che considerando solo la situazione finale e non lo storico giungessi a un risultato diverso mi è chiaro. Tuttavia pensavo che la probabilità di scambio o meno arrivato a quel punto fosse comunque 1/2, ho capito però che era un errore.


Mi rimane un'ultima curiosità, però nel caso di monty. Mi spiego:
mettiamo di avere monty che agisce come nel caso del gioco indicato (sapendo), e che faccia la sua proposta dopo aver aperto la porta/pacco non vincente. Come ribadito, a quel punto il concorrente se cambia ha probabilità di 2/3 di vincere e se tiene 1/3.

Benissimo

Ora arriva un altro concorrente che è ignaro di tutto quanto avvenuto e gli si chiede di scegliere tra le due porte rimaste, lui avrà in teoria probabilità 1/2 e 1/2. Qundi sceglie a caso senza grandi patemi d'animo.

Vedo questa situazione in questo modo, il giocatore 1) avendo più informazioni sa in quale "universo" si trova, con universo intendo che sa ciò che è avvenuto nel suo mondo e sa che avendo scelto la prima porta gli conviene cambiare.

Il giocatore 2) arriva ignaro e lui non sa in che universo si trova: potrebbe essere sia nello storico per cui monty ha scelto la porta dando più informazioni al concorrente 1) e quindi dando maggior probabilità di vincita al pacco rimasto oppure potrebbe trovarsi in un caso in cui la scelta è casuale, cioè potrebbe scegliere il pacco che ha in mano il giocatore (o chiamiamola porta che dir si voglia) oppure quello non in possesso del giocatore 1) per lui hanno stessa probabilità di vincita.

Ma qui arriva un "paradosso": se 2 sceglie il pacco non in mano al giocatore 1 (scelta che opera in modo del tutto casuale) lui vincerà con probabilità 1/2, mentre il giocatore 1) scegliendo il pacco non in suo possesso sappiamo che vince per 2/3.
Ma siccome la realtà è unica uscirà molto più probabilmente il pacco non in possesso perché vale 2/3, ma se per il giocatore 2) vale 1/2 come è possibile.
Cioè sembra che la realtà propenda con maggior probabilità a far trovare il premio sotto il pacco non posseduto da 1) ma allo stesso modo debba far trovare il premio con stessa probabilità nei due pacchi. E mi sembra un pasticcio.

[utente__medio]

Le probabilità non sono qualcosa a cui la realtà deve piegarsi, ma semplicemente delle valutazioni coerenti con lo stato di conoscenza di chi le sta soppesando.

Tornando al tuo esempio, il giocatore 1 se gioca bene le proprie carte avrà una probabilità di vincere pari a 2/3 e una probabilità di perdere pari ad 1/3, mentre al giocatore 2 ignaro non resterebbe che affidarsi ad un "misero" 50 e 50.

[garante]

Però mi sembra un assurdo, nel senso che: se ammetto che uno scegliendo quella porta vince 2/3 delle volte, l'altro vince 1/2 allora è come se attribuissi a quella porta due valori diversi. Perché quella porta restituisce vincita per uno maggiore dell'altro, ma in realtà quando apro devono vincere con stessa probabilità.

Capisco di essere nel torto ma non so dove sbaglio perché mi sembra coerente come idea è quella la fregatura XD.

[utente__medio]

Mettendoci nei panni del giocatore 2 (quello che sa di meno, o meglio niente) la probabilità di vincere ovviamente non può che essere valutata pari a 1/2; mettendoci in quelli del giocatore 1 (che è in possesso di maggiori informazioni) la probabilità di vincere in seguito al cambio potrà essere valutata pari a 2/3; se invece ci mettiamo nei panni di chi gestisce il gioco le probabilità diventano addirittura 1 e 0!
La realtà resta la stessa, ma all'aumentare del grado di conoscenza sarà possibile fare scelte via via più oculate.

Non so se ho reso l'idea, ma provo a farti un altro esempio: quattro amici (A, B, C e D) siedono intorno ad un tavolo, dove A estrae un numero da una tombola e gli altri tre devono indovinarlo. Essendo A un po' sbadato, B, che si trova accanto, riesce a scorgere che la prima cifra è un 5; C si trova anche lui accanto ad A, ma essendo un po' miope riesce solo a vedere che si tratta di un numero a due cifre; D invece, che si trova più lontano, non riesce a scorgere nulla. A questo punto le probabilità di indovinare per B, C e D saranno diverse e pari rispettivamente a 1/10, 1/81 e 1/90.
Come nel caso precedente il numero/pacco vincente sarà sempre lo stesso, ma ovviamente giocatori diversi con un diverso grado di conoscenza avranno probabilità diverse di vincere... e mi pare che non ci sia nulla di strano in tutto ciò!

[garante]

In effetti vista così mi rende molto più tranquillo.
Tuttavia, non so perché, ma istintivamente mi veniva da dare il senso di cui sopra. Fatico ancora un po' a levarmelo dalla testa però credo il tuo esempio abbia colto nel segno il mio fallo logico.

[Faussone]

In effetti vista così mi rende molto più tranquillo.
Tuttavia, non so perché, ma istintivamente mi veniva da dare il senso di cui sopra. Fatico ancora un po' a levarmelo dalla testa però credo il tuo esempio abbia colto nel segno il mio fallo logico.

Ah be' non sei il solo, altrimenti il problema di Monty Hall non sarebbe stato così famoso (e c'è ancora chi non si convince e sostiene che la probabilità di vincere non cambiando sia sempre 50%, comunque per chi non si fida basta fare l'esperimento un numero grande di volte e contare le volte che si vince non cambiando porta sulle volte totali: verrà immancabilmente 1/3 ).

Comunque sì probabilità cambia secondo delle informazioni a disposizione, come nel bell'esempio di utente__medio.
Si possono trovare casi che fanno confondere e sembrano strani proprio come il problema di Monty Hall, ma riflettendo bene non ci si dovrebbe sorprendere più di tanto.

[garante]

Nono io mi fido, solo che volevo capire intimamente l'errore. Non sono come i giocatori fervidi sostenitori del numero ritardatario, se insisto e sbatto la testa non è per convincere gli altri ma me medesimo (del mio errore).
Insomma, mi premeva essere meno ignorante XD.

Detto ciò credo il mio errore, solo per tirare meglio le fila, era che attribuivo alla porta un valore di probabilità, non accorgendomi che in realtà la probabilità di vincita è insita nel giocatore. Non so bene come spiegarlo a parole, ma io dicevo se la porta vale 2/3 come caspita fa a valere 1/2 per un "secondo osservatore", cioè attribuivo il "valore numerico probabilità" alla porta in sé e quindi immutabile, mentre in effetti la probabilità si basa sul giocatore e quanto sa di quel che è accaduto (cioè il suo grado di informazione).

[Faussone]

.... e in effetti la probabilità si basa sul giocatore e quanto sa di quel che è accaduto (cioè il suo grado di informazione).