Bourbakisti o semplicemente dei nanerottoli del pensiero?

Messaggioda Fioravante Patrone » 07/03/2009, 09:36

fields ha scritto:Ok, solo un warning. La moderna trattazione degli ordinali e' molto astratta, ed e' facilissimo perdersi se l'autore non rivela le intuizioni informali alla base. Questo purtroppo accade spesso, per la devastante tendenza bourbakista che affligge molte persone. Per capire gli ordinali bisogna quindi formarsi una propria intuizione informale: grazie a questa, le cose prima impenetrabili, appariranno ovvieta'. Come solo i grandi maestri possono essere chiari e semplici, ecco una gentile introduzione al soggetto (un copia-incolla dal grande Gentzen)


1. Condivido: quasi sempre la lettura dei "classici" è illuminante, per due motivi:
--- sanno bene cosa fanno e perché lo fanno. Affrontano dei problemi significativi. Non si preoccupano di "scrivere un paper"
--- hanno "attaccato" e risolto (quasi, magari in parte, possibilmente con errori ed ingenuità) un problema quando era "hot". Pertanto dalla loro opera traspaiono matematica e passioni

[Nota personale: tempi fa mi sono imbattuto per caso in un lavoro apparso sugli Annali di Fourier. Mi ricordo che mi sono incavolato a vedere come le discussioni sul teorema di convergenza monotona e dominata (integrazione di Lebesgue) fossero vive, rispetto alla analisi evirata che mi era stata insegnata.]

2. Bourbaki forse ha avuto dei torti da questo punto di vista, ma a mio parere il problema trascende l'influenza che questo generale ha avuto nella mate (nel male e nel bene: in ogni corso che faccio ai matematici mi capita di evidenziare una decina di volte l'importanza di lavorare con le strutture giuste, e di tenere conto delle loro relative compatibilità)
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Messaggioda GIBI » 07/03/2009, 11:04

Osservazioni condivisibili, ma peccano di un vizio di forma: i classici possono essere apprezzati solo quando si ha padronanza della materia.
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Messaggioda fields » 07/03/2009, 11:49

Sono contento, Fioravante, che tu abbia aperto la discussione, perche' ci sono molte considerazioni che si possono fare su questo tema.

1. La matematica procede in modo naturale dal concreto all'astratto, dall'intuizione alla formalizzazione, dai problemi particolari agli strumenti generali.

I numeri ordinali, ad esempio, erano stati concepiti in modo semplice da Cantor come un modo per contare "oltre l'infinito". Quasi tutti i teoremi iniziali di Cantor erano stati sviluppati con l'intuizione (si pensi che Cantor considerava il teorema del buon ordinamento, "ovvio", e non ne diede dimostrazione formale). Poi naturalmente i paradossi, Zermelo, l'assiomatizzazione, von Neumann, ed ecco la definizione con tendenza bourbakista che si trova sparata immediatamente in certi testi:

Un insieme $X$ di dice transitivo se per ogni $Y\in X$, $Y\subseteq X.$
Un ordinale e' un insieme transitivo i cui membri sono tutti transitivi.

E dopo questo, giu' teoremi su teoremi, senza alcuna spiegazione intuitiva.

Naturalmente questa definizione e' il frutto di molteplici tentativi precedenti, non e' nata "sull'albero" e caduta sulla fortunata testa di qualche matematico.

In certi casi e' una violenza nei confronti del discente, partire direttamente dall'astratto, dal generale, e vedere le applicazioni come naturali conseguenze.


2. Secondo me, in molti bourbakisti si nasconde semplicemente pigrizia: e' molto piu' facile essere completamente formali, procedere esclusivamente per definizioni, lemmi, teoremi, corollari, invece che spiegare come si e' arrivati alle definizioni - che non piovono dal cielo - ai lemmi - che sono dei subgoal in funzione di un goal principale - ai teoremi - la cui verita' deve pur essere intuita, prima che dimostrata.

3. Inoltre, in certi "bourbakisti" si nasconde il fatto che non hanno minimamente capito loro stessi le intuizioni alla base della matematica che spiegano! Cosi', persino il matematico scarsetto, puo' esporre teoremoni, definizioni etc. nascondendo tutta la sua ignoranza e incapacita' dietro al formalismo, con la scusa che la matematica formalmente perfetta si "autospiega".

4. Perche' leggere i classici aiuta? Perche' sicuramente gli scopritori dei grandi risultati hanno certamente avuto le giuste intuizioni ed e' piu' probabile che non le abbiano nascoste (altrimenti i loro risultati avrebbero corso il rischio di non essere capiti o letti...). Ci sono pero' tanti grandi maestri con tendenza a nascondere tutto il lavoro che li ha portati ai loro risultati, come ad esempio Gauss.

5. Detto questo, personalmente amo lo stile bourbakista: astrazione, rigore assiomatico, perfezione formale, eleganza. Esso e' certamente una lezione di pensiero. L'importante e' che si affianchi l'intuizione e la spiegazione.
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Messaggioda Fioravante Patrone » 07/03/2009, 12:37

GIBI ha scritto:Osservazioni condivisibili, ma peccano di un vizio di forma: i classici possono essere apprezzati solo quando si ha padronanza della materia.

Questo è vero, entro certi limiti.

Un corso universitario di base ben difficilmente può essere impostato sui classici. Ma non c'è ragione di celarne l'esistenza. E l'invito agli studenti di leggerseli potrà essere colto almeno dai più vispi o dai più interessati.

Che poi un classico si apprezza meglio "ex post" può essere vero, ma anche qui se ci fosse ogni tanto un invito a leggerseli, dopo aver passato l'esame! Magari una bibliografia messa a disposizione dello studente, che non si limiti ai manuali...
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Messaggioda G.D. » 07/03/2009, 13:01

E allora, dato che nelle università forse questo invito non c'è, perché non ci regalate un bel post con l'elenco dei classici da leggere per ogni settore della matematica (analisi, algebra, geometria, topologia et cetera et cetera), magari mettendo un piccolo commento ad ogni titolo che indichi gli studi propedeutici necessari per capire quello che i calssici cercano di insegnarci?
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Messaggioda Fioravante Patrone » 07/03/2009, 13:22

WiZaRd ha scritto:E allora, dato che nelle università forse questo invito non c'è, perché non ci regalate un bel post con l'elenco dei classici da leggere per ogni settore della matematica (analisi, algebra, geometria, topologia et cetera et cetera), magari mettendo un piccolo commento ad ogni titolo che indichi gli studi propedeutici necessari per capire quello che i calssici cercano di insegnarci?
touché :-D
Lo farò per TdG, prendendo a prestito dalla mia "bibliografia commentata".
Ma ci vuole tempo, eh!

Sarebbe carino farlo in stile wikipedia. Ovvero, un elenco che si arricchisce via via dei contributi di chi ha voglia di portare il suo granellino di sabbia.
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Messaggioda Gatto89 » 07/03/2009, 13:23

WiZaRd ha scritto:E allora, dato che nelle università forse questo invito non c'è, perché non ci regalate un bel post con l'elenco dei classici da leggere per ogni settore della matematica (analisi, algebra, geometria, topologia et cetera et cetera), magari mettendo un piccolo commento ad ogni titolo che indichi gli studi propedeutici necessari per capire quello che i calssici cercano di insegnarci?

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"La reductio ad absurdum è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita."
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Messaggioda G.D. » 07/03/2009, 14:57

Mi fa piacere che la proposta sia accolta positivamente.

No problem per il tempo: per le cose buone ci vuole sempre un poco di tempo!
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