Zermelo e gli Insiemi

[Bemipefe]

Se vi ponessero questo quesito:

P è l'insieme dei numeri pari e
U = {X appartenente a 2^N} | U contiene almeno tre numeri pari.}

A) U contenuto uguale in P
B) P contenuto uguale in U
C) P appartiene ad U
D) P-U = insiemevuoto
E) nessuna delle precedento risposte è corretta


.....innanzi tutto come interpretereste voi l' "N"? N devo prenderlo come generico valore o come insieme dei naturali?

.....poi se "X appartiene a: " allora X è sicuramente un elemento?
Ma X è un insieme non un elemento.

Quando scrivo {,2,3} appartiene a d A devo interpretare ciò come:
Gli elementi 1 2 e 3 appartengono ad A
Giusto!?

Un elemento di un insieme come è definito? , visto che sulle dispense ono ce l'hanno scritto......

...insomma faccio confusione tra appartenere a ed essere contenuto in ....


Potreste chiarirmi le idee?




<b><u>Bemipefe</u></b>

[Bemipefe]

...all'iniziomi sono sbagliato

U = {X appartenente a 2^N | X contiene almeno tre numeri pari.}

<b><u>Bemipefe</u></b>

[angela]

La definizione di elemento è data dalla definizione di insieme.
L'insieme è una "collezione" di oggetti ben definiti...chiamati,appunto,elementi.
L'elemento può,altresì,essere un insieme vedi l'insieme delle parti dove dato un insieme A si dice insieme delle parti di A un insieme che ha per "elementi" tutti i possibili sottoinsiemi che si possono formare a partire dall'insieme A.

[Luca.Lussardi]

2^N e' una notazione che viene usata per indicare l'insieme delle parti di N. Quindi U e' un sottoinsieme dell'insieme delle parti di N. Gli elementi di U sono quindi sottoinsiemi di N. In particolare sono tutti quei sottoinsiemi che contengono almeno tre numeri pari.

Ne segue che A,B e D non hanno senso, poiche' gli elementi di U sono insiemi e non numeri naturali. La C e' corretta poiche' P e' un sottoinsieme di N che contiene almeno 3 numeri pari, quindi sta in U.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone]

Luca scusa la pignoleria, ma io sapevo che la notazione di un insieme elevato ad un altro indica l'insieme di tutte le funzioni da un insieme all'altro. Per esempio, siano M e E due insiemi, allora M^E indica l'insieme di tutte le funzioni da E a M.
Nel nostro caso allora 2 è un inzieme (nella teoria di Zermelo tutto viene visto e descritto tramite insiemi), e precisamente 2=[0,1] (le parentesi quadre vedetele come graffe, su queste tastiere eMac non soco come metterle), e più in generele si ha che ogni n appartenente a N è l'insieme n=[0,1,2,...,n-1]; allora 2^N è l'insieme di tutte le funzioni con dominio N e immagine in 0 e 1.
Poi si dimostra che questo insieme e le parti di N sono in corrispondenza biunivoca (cioè hanno al stessa cardinalità) e quindi spesso si usa la notazione 2^N per indicare le parti di N (anche se a dir la verità io l'ho trovata più che altro per indicare la cardinalità delle parti di N).
Ad ogni modo Bemipefe, premesso ciò (e se lo trovi complicato o poco chiaro non preoccuoarti, non è così essenziale per la tua domanda) il resto è come ti ha detto Luca.

Platone

[Luca.Lussardi]

L'origine della notazione 2^X per indicare l'insieme delle parti di X risiede nel fatto che se X e' finito con cardinalita' n, allora 2^X e' finito con cardinalita' 2^n.

Poi la notazione X^Y per indicare l'insieme delle funzioni da Y in X e' consistente con quella precedente per i motivi che dicevi anche tu.

2^X resta pero', come notazione originale, l'insieme delle parti di X; tra l'altro se cosi' non fosse non avrebbe nemmeno senso la domanda posta, poiche' non ha senso chiedere se una funzione contiene 3 numeri pari...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Platone]

Si certo, era chiaro che in quel caso non poteva indicare l'insieme delle funzioni ecc, ma le parti di N.
Che dire, evidentemente e me la questione l'hanno spiegata "al rovescio".

Platone

[Luca.Lussardi]

...come spesso accade in Matematica; molto frequentemente impariamo le cose non come sono nate ma come ad un professore piace spiegarle. L'importante e' comunque capire cio' che ci sta sotto, al di la' delle notazioni.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Bemipefe]

Concordo "Luca.Lussardi" e vi ringrazio per la spiegazione.

In ogni caso a me non era stata spiegata assolutamente questo tipo di notazione , quindi non vedo come all'esame il prof. se ne possa uscire con questo "linguaggio" sconosciuto.....e capire il testo è ahimè fondamentale. Purtroppo a volte escono queste cose strane e tu ovviamente non sai come inpetepretare quel mucchio di caratteri così vai per intutito ......e sbagli.

In ogni caso non mi piace come notazione, preferisco <i>P</i>(N) è più pulita e meno contraddittoria.
Io sinceramente non capisco come un "insieme" possa essere un esponente di una potenza......semmai la sua cardinalità o qualunque valore ricavabile da esso, ma non il nome dell''insieme che di per se non rappresenta nulla.



<b><u>Bemipefe</u></b>

[Bemipefe]

Un altra domanda:
Nella definizione di insieme equivalente si dice che:
A = B quando A contenuto uguale B e B contenuto uguale A


Ora ....io non ho trovato alro modo di spiegare questa definizione oltre a questo:

Visto che i due insiemi hanno cone sottoinsiemi impropri i loro stessi insiemi, allora se A = B e se
A = {1}
B = {1}

allora ci sara in A un insieme, quindi un sottoinsieme tale che 1 appartiene a questo insieme. Questo insieme è l'insieme improprio di A ed è uguale a B, quindi B è effettivamente un sottoinsieme di A ossia è contenuto in A.

Lo stesso succede in modo simmetrico per l'insieme B....

Ora aclune domande:
1) Quanto senso ha quello che ho detto?

2) Se B è un sottoinsieme di A allora B è anche un elemento di A, quidni posso scrivere anche B appartiene A?

3) L'insieme inprorpio di A cioè oltre a l'insieme vuoto, A stesso, non contiene anche gli insiemi impropri di A?
Cioè il sottoinsieme improrpio per essere A stesso, deve contenere anche gli insiemi impropri di A, ma se si fà così si và in un loop (ciclo) infinito, in quanto se il sottoinsieme improrpio contiene anche il sottoinsieme improrpio di A allora anche questo conterra A e così il successivo...... senza mai fermarsi.



<b><u>Bemipefe</u></b>