Per Luca Lussardi

[Alexp]

Buon giorno,
la conosco perchè sono un frequentatore anche del forum di Arrigo amadori e so che lei è uno tra gli esperti!
Vorrei chiederle se per cortesia può dare velocemente una lettura al topic intitolato "vettori" e poi possa dirmi a grandi linee cosa ne pensa riguardo all'argomento!

Grazie e spero di non recarle troppo disturbo!

[Luca.Lussardi]

Ho letto l'intero post e tutte le risposte, e condivido ogni parola di Fioravante Patrone, persona, tra l'altro, decisamente più qualificata di me.

Non posso quindi che ribadire quanto detto, un vettore inteso in senso classico non può avere componenti infinite; il concetto di infinito appare come passaggio al limite, ma l'infinito non è un numero reale.

E' vero poi che l'intera Teoria (e forse l'intera Geometria differenziale) si fa in ipotesi di regolarità per le funzioni in gioco; del resto quando la regolarità cade abbiamo ben visto i guai che succedono... la curvatura potrebbe esplodere all'avvicinarsi ad un certo punto, per esempio.

P.S. Una questione di stile: per rivolgerti direttamente a me mandami un messaggio privato, evita di aprire un topic.

[Alexp]

Si scusami hai ragione, non capiterà più!!!

Il dilemma mi è sorto proprio per calcolare una curvatura, dunque se il vettore che ottengo dalla formula di Frenet per la curvatura é 2,8/9,00 (nell'ordine z,x,y) significa che la curvatura è infinita e la normale principale giace sull'asse y?

Scusa ancora!

[Luca.Lussardi]

Non puoi usare nessuna formula se cade la regolarità; per il valore $t=0$ la curva non ha un punto corrispondente, per esempio con $y=+\infty$. Quindi non è definito il vettore normale per $t=0$, non è definita la curvatura, non è definito niente.

[Alexp]

No, ho capito, ma io sto parlando di una curva continua nel dominio, solo che non differenziabile, come ad esempio:
z=t^2
y=t^3/2
x=t

La curva in t=0 è definita, ma la sua derivata no, qui mi risulta dai conti che ha curvatura infinita......la domanda che ti ho fatto precedentemente si riferisce a casi come questo non in casi in cui la funzione già in partenza non è definita.

Ti prego illuminami!

[Luca.Lussardi]

Credevo ti riferissi all'iperbole del post sui vettori.

Nel caso di questa curva non hai la differenziabilità in $t=0$ quindi tutta la teoria cade, o meglio, la devi applicare su un aperto che non contiene $t=0$.

Per $t=0$ hai solo un punto della curva, ma lì non hai vettore tangente, normale... non hai nulla, almeno se tieni la parametrizzazione così.

[Alexp]

Ahh..ho capito!
Però ho letto che se una curva come quella in esame esiste in un punto (t=0) ed è continua, anche se la sua derivata nel punto non esiste, gli si associa comunque una tangente verticale (ad esempio in dimensione due ad una circonferenza nei punti estremi gli si associano tangenti verticali, anche se la tangente non esiste), dunque io su quella base ho considerato esistente la tangente e via via ho provato a "costruire" il resto.......

Allora in casi come questi in cui una funzione è definita in un punto ed è continua nell'intorno di quel punto, ma non esiste la sua derivata prima, non esiste neanche la curvatura oppure la curvatura la si può calcolare, ma non esiste normale principale e dunque piano osculatore?

[Luca.Lussardi]

Può comunque esistere tutto, ma per il calcolo del vettore normale e della curvatura ti devi appoggiare alla definizione e non alle regole di calcolo che vogliono fino alla derivata terza se non sei in parametrizzazione intrinseca.

Per esempio per trovare il vettore tangente, fai la retta secante e passi al limite; poi trovi il piano osculatore facendo il piano per la tangente e un punto della curva a passando al limite, quindi trovi il vettore normale, il cerchio osculatore, la curvatura, ecc....

[Alexp]

Caspita, la cosa è molto interessante!!!

Potresti cortesemente farmi un esempio veloce di come calcolare il piano osculatore e il cerchio osculatore, nel senso io so come calcolarli nel metodo "standard", ma in questi casi no!

(Giuro che è l'ultima domanda!)

Grazie!

[Luca.Lussardi]

Avevo in mente un esempio istruttivo, ma nel piano, per cui non si vede la costruzione del cerchio osculatore; lascio a te generalizzare quanto farò per una curva spaziale, ma le idee si vedono già in questo esercizio che farò.

Sia data la curva piana parametrizzata da $x(t)=t^(1/3)$ e $y(t)=t^(2/3)$, con $t \in [-1,1]$. In realtà si tratta di un arco di parabola di equazione cartesiana $y=x^2$, ma ignoriamo tutto ciò, se non alla fine per verificare i risultati ottenuti.
La parametrizzazione data non è regolare in $t=0$, per cui per $t=0$ non è possibile usare le formule di Geometria differenziale per trovare retta tangente, retta normale e curvatura, che è quello che faremo.
Si ha $x(0)=y(0)=0$; sia $P(t)=(x(t),y(t))$ un punto generico della curva data, e andiamo a cercare la retta tangente in $P(0)=(0,0)$ con la definizione, ovvero come retta limite della secante. In altre parole sarà una retta passante per $(0,0)$ e di coefficiente angolare pari al limite del coefficiente angolare della secante, che vale $t^(2/3)/(t^(1/3))=t^(1/3)$, che tende a $0$, per $t -> 0$. Dunque la retta tangente in $(0,0)$ esiste ed ha equazione cartesiana $y=0$, e quindi il versore tangente è dato da $e_1$.
Il piano osculatore, come già detto, è il piano della curva, e quindi la retta normale principale sarà l'asse delle $y$, ed il versore normale sarà $e_2$.
Andiamo a trovare la curvatura, osservando che dobbiamo ancora una volta usare la vera definizione: la curvatura in un punto è il limite del rapporto tra l'angolo formato dai vettori tangenti e la lunghezza di arco sotteso.
Se ci spostiamo da $P(0)$ a $P(t)$ allora l'angolo formato dai vettori tangenti vale $arctan(2t^(1/3))$, mentre la lunghezza dell'arco sotteso vale $\int_0^(t^(1/3))sqrt(1+4x^2)dx$ (formula lunghezza arco); quindi la curvatura è data da
$\lim_(t -> 0)(arctan(2t^(1/3)))/(\int_0^(t^(1/3))sqrt(1+4x^2)dx)$
che può essere risolto usando de l'Hopital. Derivando si ha che la curvatura per $t=0$ vale
$\lim_(t ->0)(2/(1+4t^(2/3))d/dt(t^(1/3)))/(sqrt(1+4t^(2/3))d/dt(t^(1/3)))=2$.

Andiamo a controllare tutto sapendo che la curva è il grafico della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $[-1,1]$. Chiaramente la retta tangente in $0$ è l'asse $x$, e la retta normale è l'asse delle $y$. Passiamo al controllo della curvatura, usando la formula $(||P'(t)xP''(t)||)/(||P'(t)||^3)$, dove stavolta la parametrizzazione scelta è regolare, $P(t)=(t,t^2)$.
Il numeratore di tale formula risulta $2$, mentre il denominatore risulta pari a $(\sqrt(1+4t^2))^3$, per cui la curvatura in $t=0$ vale $2$.