Buongiorno

[oki]

Buongiorno a tutti,
non mi occupo di matematica nella vita, né ho esami da affrontare. Però ogni tanto devo dare una ripulita alla soffitta; diciamo all'incirca ogni decina d'anni. Così mi è capitato per le mani un libro di quando andavo a scuola: «Corso di algebra», Volume II, autori E.Carboni e F.Ventola, 1980. Prima di decidere se buttarlo al riciclo o tenerlo, non ho resistito a sfogliarne qualche pagina e, proprio tra le prime, trovo definizione e un paio di esempi di «sezione del campo».
Il mio sorrisetto nostalgico si è trasformato in perplessità perché non ho capito o la definizioe o l'esempio dato nel libro. Dopo averci pensato un po' ho deciso di chiedere un parere e, sfogliando il web, ho trovato questo posto, che penso sia giusto per porre domande di questo tipo.
È così spiegata la causa della mia iscrizione qui. Cercherò di capire come pubblicare il quesito, dopo aver sbirciato un po'.
Per ora sono solo contento di avervi trovato e vorrei farvi i complimenti per tutto l'encomiabile lavoro che vedo qui intorno, anche se probabilmente non mi vedrete comparire spesso.

[killing_buddha]

Non è che sia molto chiaro che definizione vuoi sapere "campo", limitandosi all'algebra, indica un certo tipo di struttura (sostanzialmente una cosa che si comporta come i numeri razionali, o come l'insieme dei numeri interi modulo $7$). Tuttavia la "sezione" di un campo fa sospettare che lo si intenda diversamente.

Devi, perciò, darci un po' di contesto affinché si capisca di che parla quella parte del libro.

[oki]

Pensavo di pubblicare fuori dal filone delle presentazioni ma, visto che me lo chiedi, procedo qui.
Il capitolo è «Sezioni del campo razionale».

Definizione. Due classi A e B formate da numeri razionali relativi cositituiscono una sezione del campo di detti numeri quando quando si verificano per esse le seguenti condizioni:
a) ogni numero della classe A è minore di ogni numero della classe B;
b) la classe A non ha un massimo, la classe B non ha un minimo;
c) ogni numero razionale relativo trova posto o nella classe A o nella classe B, escluso tutt'al più un sol numero;
d) ogni numero razionale minore di ciascun elemento della classe A, appartiene alla medesima classe A; mentre ogni numero razionale maggiore di ciascun elemento della classe B, appartiene anch'esso alla stessa classe;
Dalla c) scaturisce che se dalla sezione (A,B) è escluso un numero razionale, questo dovrà essere maggiore di di tutti quelli della classe inferiore A, e minore di tutti quelli della classe superiore B.
Esempi.
1) Fissato un numero razionale qualsiasi n, che, per semplicità, possiamo supporre intero, formiamo la classe A, con tutti i numeri interi minori di n e la classe superiore B, con tutti i numeri interi maggiori di n. La sezione (A; B) così formata, in cui le due classi soddisfano alle condizioni anzidette, è una sezione di 1ª specie in quanto escludono il numero n.
2) ...

Il problema penso dipenda da un'errata interpretazione tra queste mie due:
I) l'esempio (1) forma classi costituite da soli numeri interi;
II) la condizione (c) significa che l'unione delle due classi, più tutt'al più un sol numero, dev'essere uguale alla totalità dei numeri razionali relativi.

Mi sembra che le due interpretazioni non siano tra loro compatibili, perché dall'unione delle classi dell'esempio sarebbero esclusi non solo n, ma anche i numeri frazionari, quindi la (c) non sarebbe verificata.
Inoltre le medesime classi sono in disaccordo anche con la (b) in quanto la classe inferiore avrebbe un massimo, uguale a n-1, e la classe superiore un minimo, uguale a n+1.

Chiedo lumi.

[killing_buddha]

1) Fissato un numero razionale qualsiasi n, che, per semplicità, possiamo supporre intero, formiamo la classe A, con tutti i numeri interi[/i] minori di n e la classe superiore B, con tutti i numeri [b]interi maggiori di n. La sezione (A; B) così formata, in cui le due classi soddisfano alle condizioni anzidette, è una sezione di 1ª specie in quanto escludono il numero n.

Se c'è davvero scritto così, probabilmente c'è un errore; il problema si risolve sostituendo i due "interi" che ho evidenziato con "razionali".

[oki]

Quindi è corretto pensare che una sezione del campo dei numeri razionali divide il campo in due classi, escluso tutt'al più un sol numero, in modo che l'unione delle due classi, più l'eventuale numero escluso, sia uguale al campo dei numeri razionali?

[killing_buddha]

Sì, $QQ$ si rompe in tre pezzi, i numeri minori di un $q\in QQ$ dato, quelli maggiori, e l'insieme il cui unico elemento è $q$.

[oki]

Che bello!
Grazie!