funzioni continue

[sofia123]

buongiorno a tutti,
stavo provando a fare un vero e falso sulle funzioni continue e ho trovato 4 domande che non saprei come giustificare, qualcuno sa spiegarmi come farebbe?

l'esercizio è:
data una funzioni f(x) continua e derivative (1 volta ) in R (appartiene a C1(R) tale che limx->+-inf f(x)=0. Allora
1) esiste x0 ∈ R tale f'(x0) = 0; V F
2) f ha massimo V F
3) f è limitata V F
4)f è invertibile V F


il mio ragionamento è stato provare a fare qualche esempio:
per la prima ho pensato alla funzione e^(1/|x|+1)-1 e ho risposto falso
per la seconda ho pensato che una funzione continua non avrà asintoti verticali di conseguenza avrà un massimo
per la terza ho fatto lo stesso ragionamento della seconda quindi ho messo vero a entrambe
per la quarta ho provato a fare un disegno e mi sembrava falsa

vanno bene come ragionamenti o ho sbagliato qualcosa?

[LoreT314]

continua e derivabile (1 volta ) in $RR$ (appartiene a $C^1(RR))$

Ti devo subito fermare. Infatti il fatto che una funzione sia derivabile non è equivalente al fatto che sia $C^1$. Ovviamente se è $C^1$ è anche derivabile, ma il fatto che sia derivabile non implica che la derivata sia continua, e quindi che sia $C^1$.

per la prima ho pensato alla funzione $e^(1/|x|+1)-1$ e ho risposto falso

Tale funzione non è nemmeno definita in $x=0$ e quindi non può andare bene come controesempio.

una funzione continua non avrà asintoti verticali di conseguenza avrà un massimo

Quel "di conseguenza" è falso.

per la terza ho fatto lo stesso ragionamento della seconda

L'idea intuitiva è corretta però la giustificazione non è sufficientemente rigorosa, ma dipende da che corso segui.

per la quarta ho provato a fare un disegno e mi sembrava falsa

Puoi prendere $f(x)=e^(-x^2)$

[sofia123]

grazie mille per aver risposto, come controesempio della prima domanda pensavo a e^(1/(|x|+1))-1 (prima l'avevo scritto male), può andar bene questo?
per la seconda invece quale giustificazione potrei dare?
quindi le risposte ai vero e falso che ho dato sono giuste?

[LoreT314]

$e^(1/(|x|+1))-1$,può andar bene questo?

Questa funzione è derivabile in $0$?

per la seconda invece quale giustificazione potrei dare?

Prova a pensare a un controesempio in cui l'immagine della funzione ha estremo superiore che non è un massimo

quindi le risposte ai vero e falso che ho dato sono giuste?

Non tutte

[3m0o]

data una funzioni f(x) continua e derivative (1 volta ) in R (appartiene a C1(R) tale che limx->+-inf f(x)=0. Allora
1) esiste x0 ∈ R tale f'(x0) = 0; V F
2) f ha massimo V F
3) f è limitata V F
4)f è invertibile V F

Mi pare che hai usato solo la continuità per il secondo ed il terzo. Questo è sbagliato pensa alla funzione identità \( x \mapsto x \), di più è \( C^{\infty} \), ma comunque sia la 1,2,3 sono false per questa funzione. Qui ti si chiede invece una funzione continua e derivabile (non \(C^1\)) tale che \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \). È essenziale la condizione \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \) se vuoi dimostrare o trovare un controesempio per una di quelle affermazioni.

[sofia123]

grazie per la risposta, ho provato a pensare ad un controesempio ma non riesco a capire come una funzione che sia continua in R e che rispetti questa condizione limx→±∞f(x)=0 possa tendere a +inf o -inf in un punto per x∈R...
potresti farmi un esempio?

[3m0o]

grazie per la risposta, ho provato a pensare ad un controesempio ma non riesco a capire come una funzione che sia continua in R e che rispetti questa condizione limx→±∞f(x)=0 possa tendere a +inf o -inf in un punto per x∈R...
potresti farmi un esempio?

Non lo trovi perché questo non è possibile.
Infatti la 3) è vera, la funzione dev'essere limitata su \( \mathbb{R} \), abbiamo \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \), supponiamo \(f\) non limitata, allora \( x_0 \in \mathbb{R} \) tale che \( \lim_{ x \to x_0 } \left| f(x) \right| = \infty \) dunque la funzione \(f\) è discontinua in \(x_0\), contraddicendo la continuità.
Ma dove sbagli è che se una funzione continua è limitata allora ha un massimo. Pensaci un attimo. La funzione \( x \mapsto x \) è limitata in \( (0,1) \) ma non ha un massimo.
Allo stesso modo pensa ad una funzione limitata in \( \mathbb{R} \) che non ha massimo in \( \mathbb{R}\) e che \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x)=0 \) (pensa e modifica in modo adeguato il suggerimento di LoreT314 per il punto 4).
Sostanzialmente quello che ti si chiede è che esiste un certo \( M \in \mathbb{R} \) tale che
\[ f(x) \leq M := \sup_{x \in \mathbb{R} } f(x) \]
(per definizione di sup) ma
\[ f(x) \neq M \]
per ogni \( x \in \mathbb{R} \).

[sofia123]

giusto, non ci avevo pensato! grazie mille, molto chiaro!