1)Siano date, $S_24$ , le permutazioni $\sigma$, di struttura ciclica $(6,5,4,3,1,1,1,1,1,1)$, e $\sigma$ , di
struttura ciclica $(11,7,3,3)$. Provare che l’intersezione $<\sigma>nn<\tau>$ è il sottogruppo banale.
Io ho provato a svolgerlo così, ma sul finire mi blocco...
L'ordine di $<\sigma>$ è 60, mentre quello di $<\tau>$ è 231, allora se considero la loro intersezione, ogni elemento avrà un periodo che dovrà dividere sia 60 che 231 e quindi il loro M.C.D. cioè 3.
Allora l'elemento dell'intersezione avrà periodo 3 oppure 1(id).
Nel primo caso quindi:
$3=o(\sigma^n)=60/(MCD(n,60))$ e quindi $n=20,40$
$3=o(\tau^m)=231/(MCD(m,231))$ e quindi $m=77,154$
Come posso provare che $\sigma^20 != \tau^77$ e tutti gli altri casi?
2)Determinare, in $S_23$ , due permutazioni: $\alpha$, di struttura ciclica $(6,5,5,4,3)$, e $\beta$, di
struttura ciclica $(10, 2, 2,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$, in modo che l’intersezione $<\alpha>nn<\beta>$ non sia
il sottogruppo banale.
Penso che sia molto simile al precedente... seguendo lo stesso ragionamento del problema 1, gli elementi dell'intersezione devono avere periodo 2, oppure 5 oppure 10.
Ho scelto arbitrariamente 2 e quindi dopo aver applicato la formula del periodo devo trovare $\alpha$ e $\beta$ tali che $\beta^5$=$\alpha^30$.
Anche qui non so come continuare...