Intersezione banale di gruppi ciclici

[m_2000]

1)Siano date, $S_24$ , le permutazioni $\sigma$, di struttura ciclica $(6,5,4,3,1,1,1,1,1,1)$, e $\sigma$ , di
struttura ciclica $(11,7,3,3)$. Provare che l’intersezione $<\sigma>nn<\tau>$ è il sottogruppo banale.
Io ho provato a svolgerlo così, ma sul finire mi blocco...
L'ordine di $<\sigma>$ è 60, mentre quello di $<\tau>$ è 231, allora se considero la loro intersezione, ogni elemento avrà un periodo che dovrà dividere sia 60 che 231 e quindi il loro M.C.D. cioè 3.
Allora l'elemento dell'intersezione avrà periodo 3 oppure 1(id).
Nel primo caso quindi:
$3=o(\sigma^n)=60/(MCD(n,60))$ e quindi $n=20,40$
$3=o(\tau^m)=231/(MCD(m,231))$ e quindi $m=77,154$
Come posso provare che $\sigma^20 != \tau^77$ e tutti gli altri casi?

2)Determinare, in $S_23$ , due permutazioni: $\alpha$, di struttura ciclica $(6,5,5,4,3)$, e $\beta$, di
struttura ciclica $(10, 2, 2,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$, in modo che l’intersezione $<\alpha>nn<\beta>$ non sia
il sottogruppo banale.
Penso che sia molto simile al precedente... seguendo lo stesso ragionamento del problema 1, gli elementi dell'intersezione devono avere periodo 2, oppure 5 oppure 10.
Ho scelto arbitrariamente 2 e quindi dopo aver applicato la formula del periodo devo trovare $\alpha$ e $\beta$ tali che $\beta^5$=$\alpha^30$.
Anche qui non so come continuare...

[vict85]

Quelli sono gruppi ciclici; la loro intersezione è un gruppo ciclico. Quindi trovare l'intersezione significa trovare il suo generatore.
\(\sigma = \sigma_6\sigma_5\sigma_4\sigma_3\) la decomposizione in cicli di \(\sigma\). Ho voluto usare il pedice per indicare l'ordine del ciclo.
Facendo un semplice calcolo: \(\sigma^{20} =\sigma_6^{2}\sigma_3^{-1} \) e \(\sigma^{40} =\sigma_6^{4}\sigma_3= \sigma^{-20}\). Sia \(\sigma_6^{2}\) che \(\sigma_6^{4}\) ha una composizione in cicli fatta di due cicli disgiunti. Quindi \(\sigma^{20} \) è composta da \(3\) \(3\)-cicli disgiunti.
Fai lo stesso con \(\tau\) e ti renderai conto che non ha alcun multiplo composto da \(3\) \(3\)-cicli disgiunti.

[m_2000]

Quindi poichè $\tau$ è composta da cicli tutti aventi come lunghezza un un numero primo, allora elevando $\tau$ ottengo che i cicli restano di uguale lunghezza o al massimo diventano identità.
Per il secondo esercizio ho pensato che se considero $\alpha^12$ che quindi avrà come struttura ciclica $(5,5)$
e $\beta^2$, con struttura ciclica $(5,5)$, allora è sufficiente considerare $\alpha$ con i due 5-cicli: $(1,2,3,4,5)(6,7,8,9,10)$ e $\beta$ avente come 10-ciclo $(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)$.

[vict85]

Quindi poichè $\tau$ è composta da cicli tutti aventi come lunghezza un un numero primo, allora elevando $\tau$ ottengo che i cicli restano di uguale lunghezza o al massimo diventano identità.

Questa frase è piuttosto generica. Sia \(\tau = \tau_1\tau_2\tau_3\tau_4\) la decomposizione in cicli disgiunti di \(\tau\), dove \(\lvert\tau_1\rvert = 11\), \(\lvert\tau_1\rvert = 7\), \(\lvert\tau_1\rvert = \lvert\tau_1\rvert = 3 \). Si ha che \(\tau^{77} = \tau_3^{-1}\tau_4^{-1}\) e \(\tau^{-77} = \tau^{154} = \tau_3\tau_4\).
In altre parole, gli elementi di ordine \(3\) in \(\langle \sigma \rangle\) hanno struttura ciclica \((3,3,3)\) mentre quelli in \(\langle \tau \rangle\) hanno struttura ciclica \((3,3)\)

Per il secondo esercizio ho pensato che se considero $\alpha^12$ che quindi avrà come struttura ciclica $(5,5)$
e $\beta^2$, con struttura ciclica $(5,5)$, allora è sufficiente considerare $\alpha$ con i due 5-cicli: $(1,2,3,4,5)(6,7,8,9,10)$ e $\beta$ avente come 10-ciclo $(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)$.

Sicuro? Se definisci \(\beta = (1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10)\tau_2\tau_3\) allora \(\beta^2 = (1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10)^2 = (1\,3\,5\,7\,9)(2\,4\,6\,8\,10)\). Se \(\alpha = (1\,2\,3\,4\,5)(6\,7\,8\,9\,10)\alpha_3\alpha_4\alpha_5\) allora \(\alpha^{12} = (1\,2\,3\,4\,5)^2(6\,7\,8\,9\,10)^2= (1\,3\,5\,2\,4)(6\,8\,10\,7\,9) \). Quindi a meno che non abbia fatto qualche conto sbagliato direi che devi rifarteli tu. Ma l'idea è corretta.

[m_2000]

Giusto, io mi ero fermato ad osservare le strutture cicliche...
Comunque se considero $\beta=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)$ allora devo prendere $\alpha=(1,7,3,9,5)(2,8,4,10,6)$

[vict85]

Non dimenticarti del resto della decomposizione però.

[m_2000]

$ \alpha=(1,7,3,9,5)(2,8,4,10,6) $

Non dimenticarti del resto della decomposizione però.

Si mi correggo...

Giusto, io mi ero fermato ad osservare le strutture cicliche...
Comunque se considero $ \beta=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) $ allora devo prendere $ \alpha=(1,7,3,9,5)(2,8,4,10,6) $

Il primo è il 10-ciclo di $\beta$ e non tutto $\beta$, mentre il secondo sono i due 5-cicli di $\alpha$

[vict85]

Sì, lo avevo capito, ma il testo del problema ti chiede di trovare le due permutazioni. Se ti fermi lì potresti perdere punti all'esame. Per quanto mi riguarda non dubito che tu sappia finire l'esercizio: si tratta solo di aggiungere cicli dell'ordine giusto e disgiunti.

[m_2000]

Scusa il ritardo, avevo scritto la risposta ma non l'avevo pubblicata...grazie mille per la disponibilità

$ \beta=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)(11,12)(13,14)(15)(16)...(22)(23) $ allora devo prendere $ \alpha=(1,7,3,9,5)(2,8,4,10,6)(11,12,13,14,15,16)(17,18,19,20)(21,22,23) $