Qual è il numero massimo di spinte di pedoni teoricamente possibili?

[otta96]

Per calcolare la lunghezza massima di una partita di scacchi bisogna sapere quante spinte pedonali si possono fare al massimo, ma non è facile calcolarlo precisamente, perchè nonostante sia facile maggiorare con facilità questo numero in 6 spinte per pedone per ogni pedone, quindi 96, in pratica questo non può succedere perchè si ostacolano a vicenda e qualcuno deve essere mangiato ma allora non fa tutte e 6 le spinte che teoricamente potrebbe fare. Si sa quanto è questo numero? E cambia qualcosa se si considera la scacchiera nella posizione di partenza normale o solo con i pedoni?

[3m0o]

È possibile che siano

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

88? O forse di più!

[3m0o]

Una partita molto stupida esiste con

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

88 spinte di pedone! Non credo che si possa fare meglio perché se un pedone originale in colonna fa 6 spinte allora quello originale della stessa colonna ma di colore opposto deve fare meno di 6 spinte (o shiftando colonna mangiando oppure viene catturato da qualcuno prima di fare 6 spinte per liberare la colonna al altro pedone) per cui il massimo di spinte che due pedoni originali della stessa colonna possono fare è \(5+6=11 \) e se facciamo per ogni colonna sono \( 88 \) spinte. Se invece consideri mangiare in diagonale come una spinta allora 96 sono possibili

[3m0o]

Mentre se la scacchiera sono solo pedine allora

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sono 87 il massimo! Stessa strategia, solo che un pedone viene mangiato dopo 4 spinte

[otta96]

Ah io mica so la risposta

[3m0o]

A dire il vero voleva essere una dimostrazione:

Mentre se la scacchiera sono solo pedine allora

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sono 87 il massimo! Stessa strategia, solo che un pedone viene mangiato dopo 4 spinte

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Chiamiamo con \(B_x \) (risp. \(N_x \)) il numero di spinte fatte dalla pedina bianca (risp. nera) nella colonna \(x \in \{a,b,c,d,e,f,g,h\} \). E' chiaro che per ogni \(x \) non è possibile avere \(B_x+N_x=12 \), quindi per ogni \( x \in \{a,b,c,d,e,f,g,h\} \) abbiamo che \( \max_{1 \leq B_x,N_x \leq 6} \{ B_x + N_x \} \leq 11 \). Siccome sulla scacchiera, inizialmente, ci sono solo pedine vuol dire che se c'è una cattura allora la prima cattura dev'essere una pedina. Inoltre la prima pedina catturata può fare un massimo di \(4 \) spinte. Inoltre se una pedina (bianca oppure nera) originaria della colonna \(x\) è stata catturata allora abbiamo che \( \max_{1 \leq B_x,N_x \leq 6} \{ B_x + N_x \} \leq 10 \). Chiaramente se non avvengono catture di pedine, per ogni \(x\) abbiamo \(B_x+N_x=4\) da cui se non avvengono catture abbiamo un massimo di \(8\times 4=32\) spinte. Quindi se una soluzione con più di \(32\) spinte avviene c'è stata almeno una cattura. Nella soluzione sotto (con più di \(32\) spinte) abbiamo minimizzato il numero di pedine catturate (i.e. una sola pedina catturata ovvero la pedina bianca originaria in b2), l'unica pedina catturata ha effettuato il massimo di spinte possibile (i.e. \(B_b= 4\) spinte), inoltre per ogni \(x\) abbiamo massimizzato la somma \(B_x + N_x\). Più precisamente nel esempio sotto risulta che per ogni \(x \in \{ a,c,d,e,f,g,h\} \) (nota che \(b\) non è nell'insieme) abbiamo che \(11=B_x+N_x=\max \{ B_x+N_x\}\) e per \(x= b\) abbiamo che \(10= B_b + N_b = \max \{ B_b + N_b \text{ sapendo che la pedina in b2 è stata mangiata} \}\). Da cui abbiamo che la soluzione presentata è massimale (non la più veloce necessariamente a raggiungere il massimo), per cui deduciamo che il massimo di spinte è \( 11 \times 7 + 10 =87\) e in particolare è raggiunto.

Notazione: n. rappresenta la mossa \(n\)-esima. Dopo la semi-mossa del bianco e separata da una virgola la semi-mossa del nero. Tra parentesi abbiamo prima il numero di spinte presenti nella \(n\)-esima mossa e poi il numero totale di spinte realizzate fino all'\(n\)-esima mossa.

1. b3, h6 (2,2)
2. b4, g6 (2,4)
3. b5, f6 (2,6)
4. b6, a7 x b6 (1,7)
5. a3, b5 (2,9)
6. a4, b4 (2,11)
7. a5, b3 (2,13)
8. a6, b2 (2,15)
9. a7, b1=Q (2,17)
10. a8=Q, b6 (2,19)
11. h3, b5 (2,21)
12. g3, b4 (2,23)
13. f3, b3 (2,25)
14. Qb8, b2 (1,26)
15. Qa8, Qa1 (0,26)
16. Qb8, b1=Q (1,27)
17. c3, c6 (2,29)
18. c4, c5 (2,31)
19. Qa8, Qb5 (0,31)
20. c x Qb5, c4 (1,32)
21. b6, c3 (2,34)
22. b7, c2 (2,36)
23. b8=Q, c1=Q (2,38)
24. d3, d6 (2,40)
25. d4, d5 (2,42)
26. Qb8 in b7, Qc5 (0,42)
27. d x Qc5, d4 (1,43)
28. c6,d3 (2,45)
29. c7, d2 (2,47)
30. c8=Q, d1=Q (2,49)
31. Qb7 in b8, e6 (1,50)
32. e3,e5 (2,52)
33. e4, Qd5 (1,53)
34. e x Qd5, e4 (1,54)
35. d6, e3 (2,56)
36. d7, e2 (2,58)
37. d8=Q,e1=Q (2,60)
38. f4, f5 (2,62)
39. Qd in d7, Qe in e5 (0,62)
40. f x Qe5, f4 (1,63)
41. e6, f3 (2,65)
42. e7, f2 (2,67)
43. e8=Q,f1=Q (2,69)
44. g4, g5 (2,71)
45. Qd in d8, Qf5 (0,71)
46. g x Qf5, g4 (1,72)
47. f6, g3 (2,74)
48. f7, g2 (2,76)
49. f8=Q, g1=Q (2,78)
50. h4, h5 (2,80)
51. Qf in h8, Qg5 (0,80)
52. h x Qg5, h4 (1,81)
53. g6, h3 (2,83)
54. g7, h2 (2,85)
55. g8=Q, h1=Q (2,87)


La soluzione dove la scacchiera iniziale è "normale" è molto simile solo che possiamo far mangiare un pezzo (ad esempio un cavallo) invece della prima pedina, quindi il massimo è 88 in quel caso.