Problema probabilità

[sonda90]

Un problema di probabilità: all'esame di ammissione di una facoltà universitaria viene preposto un questionario con 100 domande, sapendo che, mediamente, le risposte esatte risultano 62 con uno scarto quadratico medio di 8 e che per l'ammissione sono richieste almeno 60 risposte esatte, determinare su 150 studenti:
a) quanti sono ammessi; b) quanti risponderanno a più di 70 domande; c) quanti risponderanno a meno di 50 domande.

[mod="Steven"]Discussione spostata nella sezione più idonea "Statistica e Probabilità".[/mod]

[seascoli]

Qui ricompare di nuovo la distribuzione di Poisson, che ti aiuta nel modo più rapido a calcolare la seguente fondamentale probabilità (fondamentale per il tuo esercizio, ovviamente!):
Prob(Numero di esercizi superati dal singolo studente sia minore di 60)
Infatti la dstrib. di Poisson ti dà subito per ogni valore di k non negativo la seguente probabilità
$Q-=$ Prob(lo studente supera k esercizi, quando in media se ne superano m=62) = $exp(-m)(m^k)/k!
Sommando tali termini per k che va da 0 a 59 si ottiene l'agognata Q (ovviamente la somma falla fare ad un calcolatore!)
Avendo in mano Q, si ha anche la prob. che uno studente superi l'esame, che é P=1-Q.
A questo punto facciamo entrare la folla di studenti e vediamo che è come avere 150 monete "truccate", ognuna delle quali può dare SI' (cioè esame superato) con probabilità P e NO (ahiahi!) con probabilità Q.
Entra a questo punto in scena la distrib binomiale fra un mare di applausi e ci saluta sorridente con la sua bella formula
Prob(che su N lanci esca k volte testa) = $((N),(k))P^kQ^(N-k)$ con $k=0,1,2,3,...,N$
Qui i valore di P e Q sono quelli che hai calcolato prima, mentre N=150 (monete-studenti)
La distribuzione binomiale ha come valore aspettato NP, e questa è la risposta al tuo quesito (a).
La riposta agli altri due quesiti si ottiene ancora con la combinazione letale: Poisson+Bernoulli.
Solo che invece di calcolare P sommando 60 termini, ne dovrai sommare 70 o solo (si fa per dire) 50, prendendo nel caso di 70 domande (ma non in quello di 50) il complemento a 1, come già fatto prima.
Nota che la distribuzione di Poisson è pertinente qui, come in tutti i casi di conteggi, perchè, come vedi, la media (62) è praticamente uguale alla varianza (64= 8 x 8), una proprietà tipica delle poissoniane.