Indipendenza di famiglie di eventi con eventi complementari

[thedarkhero]

Sia ${A_i:i in I}$ una famiglia di eventi indipendenti, $I'subeI$, e definiamo $B_i={(A_i^C,if i in I),(A_i,if i in I\I'):}$.
Allora ${B_i:i in I}$ è una famiglia di eventi indipendenti.

Dimostrazione
Sia $JsubI$ finito e sia $J'=JnnI'$.
Supponiamo $J={j_1,...,j_m}$ e $J'={j_1,...,j_k}$ con k<=m.
Base dell'induzione:
Se $k=1$ si ha,
$P(B_(j1)nn...nnB_(jk))=P(A_(j1)^CnnA_(j2)nn...nnA_(jk))=P([A_(j2)nn...nnA_(jk)]\[A_(j1)nn...nnA_(jk)])=$
$=P(A_(j2))*...*P(A_(jk))-P(A_(j1))*P(A_(j2))*...*P(A_(jk))=$
$=[1-P(A_(j1))]*P(A_(j2))*...*P(A_(jk))=P(A_(j1)^C)*P(A_(j2))*...*P(A_(jk))=P(B_(j1))*...*P(B_(jk))$.
Passo induttivo:
...

Non riesco a fare il passo induttivo...


[mod="adaBTTLS"]mi sono permessa di modificare un carattere che rendeva illeggibile il post, e di "andare a capo" tra un passaggio e l'altro.
spero che il risultato sia buono. ciao.
P.S.: se c'è qualche errore nel testo, segnalalo tu.[/mod]

[pat87]

Allora, per il passo induttivo farei così.
Supponi che l'asserto vale per $J \cap I' = \{ j_1, ..., j_k\}$, allora vale

$P[ \bigcap_{i=1}^k A_{j_i}^c \cap \bigcap_{i=k+1}^m A_{j_i}] = \prod_{i=1}^k P[A_{j_i}^c] . \prod_{i=k+1}^m P[A_{j_i}]

Quindi puoi fare così

$P[ \bigcap_{i=1}^(k+1) A_{j_i}^c \cap \bigcap_{i=k+2}^m A_{j_i}] = P[A_{j_{k+1}}^c \cap \bigcap_{i=1}^k A_{j_i}^c \cap \bigcap_{i=k+2}^m A_{j_i}]$

ora puoi utilizzare, come hai fatto nella base dell'induzione, che

$P[A^c \cap B] = P[B] - P[A \cap B]$

e poi di seguito applicare l'ipotesi di induzione che ho scritto sopra.
Ti lascio completare da solo la dimostrazione.