Poisson e bernolli congiunte

[nato_pigro]

Sia $(X_n)_(n>=1)$ uno schema di bernoulli di parametro $p$ e $Y$ una variabile con densità di Poisson di parametro $lambda$, indipendente da tutte le $X_n$. Definiamo $Z=min(X_1, ... , X_n)$.

1_ calcolare la probabilità che $Z=1$ e $Y=3$

può essere: $P(Z=1, Y=3) = P(Z=1 | Y=3)*P(Y=3)=p^3*(e^lambda*lambda^3)/3!$ ?

2_Sapendo che $Y=3$, calcolare il coefficiente di correlazione fra $Z$ e $T_1$ (tempo del primo successo).

$=(COV(Z,T_1))/(sqrt(V(Z)*V(T_1)))$
$COV(Z,T_1)=E(Z*T_1)-E(Z)*E(T_1)=1*p^3-p^3*1/p$ è giusto?

[fu^2]

mmm perchè condizioni?
1)
$P(Z=1,Y=3)=P(min(X_1,...,X_n)=1,Y=3)=$ essendo $X_j\in {0,1}$, $=P(X_1=1,...,X_n=1,Y=3)$ ed essendo indipendenti...

non è che volevi scrivere $Z=min(X_1,...,X_Y)$?

in tal caso mi pare giusto il tuo ragionamento.

2)
sei sicuro del risultato di $E(Z*T_1)$?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$Z\in {0,1}$ otteniamo quindi (usando il tuo risultato che hai trovato prima)
$E(Z\cdot T_1)=sum_{k=1}^{+oo}0*kp(1-p)^{k-1}P(Z=0,Y=3)+1*kp(1-p)^{k-1}P(Z=1,Y=3)=sum_{k=1}^{+oo}kp(1-p)^{k-1}P(Z=1,Y=3)=sum_{k=1}^{+oo}kp(1-p)^{k-1}p^3e^{-lambda}lambda^3/6=p^2e^{-lambda}lambda^3/6$ o sbaglio?