calcolo probabilità e quadrato

[paperino00]

Salve, perchè in una formula del tipo \( \displaystyle b x y^2 = z \) se x diventa 4 volte più grande y si dimezza? non va considerata al quadrato?

come si fa a calcolare per esempio la probabilità di indovinare una combinazione di 6 numeri su 90 (come nel lotto) ? quale è il ragionamento che si fa (anche avendo numeri diversi) ?


Grazie!

[dissonance]

[mod="dissonance"]Sposto nella sezione di Probabilità. Attenzione alla sezione, grazie. [/mod]

[Arado90]

Non capisco il nesso tra il discorso del quadrato e della probabilità.

La probabilità di indovinare $6$ numeri su $90$, comunque, è banalmente $((90),(6))=(90!)/(6!*84!)$

[itpareid]

La probabilità di indovinare $6$ numeri su $90$, comunque, è banalmente $((90),(6))=(90!)/(6!*84!)$

questa non è proprio la probabilità, ma il numero di possibili combinazioni.

[paperino00]

sono due domande distinte...
comunque come ci si arriva a $((90), (6)) = (90!)/(6!*84!)$ ? perchè hai fatto 90-6 per ottenere 84?
intendo spiegandolo intuitivamente prechè non ho basi di statistica e probabilità

grazie

[Arado90]

@itpareid: Vero, ho scritto un po' sbrigativamente! Quelli sono solo i casi possibili!
@paperino00: La formula che ho usato è quella delle combinazioni semplici.
Una combinazione è un sottoinsieme di $k$ elementi estratti da un insieme di $n$ elementi. Dato che le estrazioni sono senza reimmissione (se parliamo del lotto) si usano le combinazioni semplici, in modo che si tenga conto solo delle combinazioni che non contengano elementi ripetuti.
Si indica con $((n),(k))$ che per definizione è uguale a $(n!)/(k!(n-k)!)$
In questo caso abbiamo $90$ palline e dobbiamo ottenere gruppi di $6$ palline distinte, e quindi il numero di combinazioni possibili è $((90),(6))=(90!)/(6!*84!)=622614630$

Se vuoi ragionare intuitivamente, pensa di avere solo $5$ palline numerate da 1 a 5 e di voler calcolare tutte le possibili combinazioni che puoi ottenere estraendone $3$ senza reimmettere ogni volta la pallina estratta.
Alla prima estrazione abbiamo $5$ palline tra cui scegliere, alla seconda estrazione avremo solo $4$ palline da estrarre dato che una è giù uscita, ed alla terza e ultima estrazione ne avremo $3$ perchè due sono già state estratte. Quindi avremo $5*4*3=60$ possibili gruppi (che poi in probabilità prendono il nome di disposizioni semplici).
Ora, in queste disposizioni in realtà l'ordine in cui sono le palline è rilevante, cioè potresti aver ottenuto $1,4,2$ e $4,1,2$ che qua sono considerate come sequenze ben diverse. Ma se consideriamo il lotto (e quindi le combinazioni semplici a cui vogliamo arrivare) sono sequenze uguali. Ci sono cioè una serie di "doppioni" da eliminare per arrivare al risultato finale. Se ad esempio consideriamo i numeri 1,2 e 4 possiamo disporli come 1,2,4; 1,4,2; 2,1,4; 2,4,1; 4,1,2 e 4,2,1 ma nel lotto queste $6$ disposizioni coincidono con un'unica combinazione, cioè quella in cui appaiono quei 3 numeri; l'ordine non conta.
Quindi, dividiamo il numero di disposizioni ottenuto per il numero di tutte le possibili sequenze che si possono formare con le stesse $3$ palline. Nell'esempio che ti ho fatto, abbiamo visto che 3 palline possono essere permutate in 6 modi differenti, che coincidono con un'unica combinazione. Quel $6$ in realtà risulta essere $3!$ e va sotto il nome di permutazioni.
Otteniamo quindi $(5*4*3)/(3!)=10$ possibili combinazioni.
Se generalizziamo questo esempio, arriviamo a $(n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/(k!)$. Moltiplicando e dividendo per $(n-k)!$ arriviamo proprio a $(n!)/(k!(n-k)!)$, ed abbiamo dimostrato la formula usata prima