Probabilità

[TomSawyer]

Una pulce disorientata salta da un vertice ad un altro nel triangolo ABC: quando è in un vertice, salta con uguale probabilità in uno degli altri due. Supponendo che la pulce parta dal vertice A, qual'è la probabilità che essa si trovi in A dopo 100 salti?

[Piera]

io ho trovato la seguente probabilità
$2/(3*2^(100))+1/3$

[MaMo]

io ho trovato la seguente probabilità
$2/(3*2^(100))+1/3$

Bel problema!
Confermo il risultato di Piera.
In generale, per n salti, la probabilità è:
$P(n)=1/3[1+2*(-1/2)^n]$
La probabilità, per n molto grande, tende a 1/3.

[TomSawyer]

Potresti spiegare il ragionamento?

[MaMo]

Io l'ho risolto così.
Indichiamo con P(n) la probabilità che la punce si trovi in A dopo l'ennesimo salto. Affinchè si verifichi questo evento la pulce, dopo n - 1 salti, deve trovarsi in B o C e non in A. La probabilità che ciò avvenga è data da:

$1-P(n-1)$

Se si verifica tale evento (pulce in B o C dopo n - 1 salti) la probabilità di saltare in A è 1/2 per cui possiamo scrivere la seguente equazione alle differenze di primo ordine:

$P(n)=1/2[1-P(n-1)]$

Risolvendola, con la condizione iniziale P(1) = 0, si trova il risultato da me indicato.