Esercizio su Urne

[sportek]

Si considerino due urne. La prima urna contiene a palline bianche e b palline nere, la seconda c bianche e d nere. Una pallina è estratta dalla prima urna e messa nella seconda. Quindi una pallina è estratta dalla seconda urna: calcolare la probabilità che sia bianca.

allora io ho risolto così... ragionando a 2 istanti di tempo differenti


in t=0
prima di fare l'estrazione...

$ P(B|U_1)=(a/(a+b)) $ probabilità di estrarre una bianca dalla prima urna

$ P(B|U_2)=(c/(c+d)) $ probabilità di estrarre una bianca dalla seconda urna

faccio l'estrazione e metto la pallina nell'urna 2

in t=1


$ P(B|U_2)=((c+1)/(c+d+1))(a/(a+b))+((c+0)/(c+d+1))(b/(a+b)) $ io ho pensato che a prescindere di quale pallina si prenda il totale delle palline (casi possibili) viene incrementato di 1.

visto e considerato che prendo con una probabilità $a/(a+b)$ una pallina bianca dalla prima urna allora ci sarà la stessa probabilità che l'urna $U_2$ abbia questa pallina bianca in più....

se il ragionamento fosse corretto ciò che non mi piace è che non riesco a identificare le formule da applicare.. il mio è stato un ragionamento istintivo di risoluzione al problema..


sarebbe giusto se scrivessi così?


$ P(B|U_2)= P(B|U_2)P(B|U_1)+P(B|U_2)P(B^c|U_1) $ ..



OSSERVAZIONI:

il calcolo della probabilità finale assomiglia ad un valore atteso, il cui "dominio" della vc sarebbero però le probabilità dell'urna 2..

Qualsiasi consiglio sopratutto sulla correttezza formale e le formule è apprezzatissimo.

[tommik]

$ ((c+1)/(c+d+1))(a/(a+b))+((c+0)/(c+d+1))(b/(a+b)) $

...ciò che non mi piace è che non riesco a identificare le formule da applicare

La formula applicata è corretta. Se non riesci ad identificare la formula che hai applicato guarda il Teorema della Probabilità Totale perché è esattamente ciò che hai fatto tu istintivamente.

Le notazioni usate invece sono decisamente errate ed alcune davvero senza senso.

Ciò che richiede il testo e che hai correttamente calcolato è

$P(B)=P[B nn U_1]P[B|B nn U_1]+P[bar(B) nn U_1]P[B|bar(B) nn U_1]$

Trovi comunque tutti i dettagli alle prime pagine di qualunque testo elementare di Statistica

[sportek]

Io uso spesso il condizionamento ERRONEAMENTE come fosse un dettaglio informativo aggiuntivo. Ci farò più attenzione, grazie