Premesso che l'ho inventato, mi pare non manchi nulla. Forse mi sono solo spiegato male. Provo quindi a spiegare meglio cosa intendo.
Abbiamo 3 sacchetti, A,B,C, contenenti rispettivamente 3,3 e 5 monete. sappiamo con certezza che una sola moneta è d'oro ed è stata inserita in un sacchetto dei tre.
ES: trovare la moneta nel primo sacchetto dato che la moneta è proprio lì è $1/3$. formalmente hai:
$X_(ij)$ è l'esito della $j-"esima "$ estrazione dal sacchetto $i=A,B,C$. Tale esito può essere 1 se trovo la moneta oppure 0 se non la trovo.
Quindi, ad esempio
$P{X_(Aj)=1|"la moneta è davvero in A"}=1/3$, $AAj=1,2,...$
$P{X_(Aj)=0|"la moneta non è in A"}=1$
ecc ecc
L'esercizo ha uno scopo puramente didattico e dovrebbe servire a spiegare che, anche con una o più estrazioni senza apparente risultato, le informazioni iniziali di totale ignoranza (la probabilità che la moneta sia in A, B, o C è evidentemente identica e pari a $1/3$) vengono arricchite dall'esperienza dei dati che modificano la probabilità finale
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Indicando con $E$ l'evento: l'estrazione di una moneta da ogni sacchetto dà come risultato 3 monete false, otteniamo la seguente distribuzione di probabilità a posteriori
$P(A|E)prop 1/3*2/3$
$P(B|E)prop 1/3*2/3$
$P(C|E)prop 1/3*4/5$
che normalizzando porge
$P(A|E)=31.25%$
$P(B|E)=31.25%$
$P(C|E)=37.5%$
e come si vede, il risultato dell'estrazione ha modificato le 3 probabilità a priori. Per poter decidere quale sacchetto acquistare (ragionando in modo bayesiano) occorrono almeno 4 estrazioni senza risultato apparente, e ciò in quanto
$(4/5)^n/(2*(2/3)^n)>1 rarr n>3.8=4$
Questo per lo meno era ciò che intendevo; in sostanza, se si hanno almeno 4 estrazioni senza risultato, il candidato più papabile è il sacchetto con più monete che ha una probabilità a posteriori di contenere la moneta d'oro maggiore del 50% rispetto alla probabilità che la moneta si trovi altrove.
Il modo in cui si compongono i sacchetti non mi pare sia influente ai fini del ragionamento (ma ovviamente posso sbagliare)