La $f(x|theta)$ è la densità del modello, nel tuo caso una normale. Il parametro ignoto lo puoi definire tu, puoi metterci $theta$ al posto di $sigma$ oppure al posto di $sigma^2$, come preferisci. Io ti consiglio di esprimerla già in funzione del parametro che vuoi analizzare.
Non voglio risolverti l'esercizio perché ad un esame del genere si suppone che tu sappia destreggiarti bene ed anche perché questa è la politica del forum; ora provo a farti vedere un esercizio semplicissimo giusto per spiegarti il procediemento e magari più tardi cerco di buttarne giù uno un po' più articolato così vedi come si procede nei casi più complessi
Esempio (facilissimo)
Prendiamo un campione casuale $(X_1,...,X_n)$ estratto da una distribuzione esponenziale $f(x|theta)=thetae^(-thetax)$ e cerchiamo la distribuzione asintotica di $T=1/bar(X)_n$
Come sappiamo, $T$ è lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$L=theta^n e^(-thetaSigmax)$
$logL=n/theta-thetaSigmax$
$partial/(partialtheta)logL=n/theta-Sigmax =0 rarr hat(theta)=n/(Sigmax)=1/bar(X)$
quindi per le note proprietà, $T$ è asintoticamente normale di media $theta$ (cioè di media pari al parametro che si va a stimare) e di varianza come ti ho scritto sopra:
$logf=logtheta-thetax$
$partial/(partialtheta)logf=1/theta-x$
$partial^2/(partialtheta^2)logf=-1/theta^2$
quindi
$1/(-nmathbb{E}_theta{partial^2/(partialtheta^2)logf(x|theta)})=theta^2/n$
in definitiva $Tdot~N(theta;theta^2/n)$
volendo usare l'altra formulazione per il calcolo della varianza ottieni sempre
$1/(nmathbb{E}_theta{partial/(partialtheta)logf(x|theta)}^2)=1/(nmathbb{E}_theta(1/theta-x)^2)$
a questo punto osservi che $mathbb{E}_theta(x-1/theta)^2=1/theta^2$ essendo proprio la definizione di varianza della popolazione e quindi il risultato è il medesimo (grazie a San Bartlett, sempre sia lodato
)
Ora cercherò in rete qualche cosa di interessante....c'è tutto, ti assicuro, basta saper cercare!
Ne ho trovato uno interessante (senza la soluzione) e l'ho messo
QUI; come di consueto, un topic un esercizio.
Buon lavoro