Estrazione da due urne, probabilità sapendo la maggioranza

[Ciruzzo001]

Salve, sto svolgendo questo esercizio:
Date due urne A e B, si supponga che l’urna A sia composta da 4 biglie bianche e 6 nere mentre l’urna B ne contenga 5 bianche e 5 nere. Si estraggono a caso (senza reinserimento) due biglie dall’urna A e una dall’urna B.
(i) Calcolare la probabilità che la maggioranza delle biglie estratte siano bianche;
(ii) Sapendo che la maggioranza delle biglie estratte sono bianche, qual è la probabilità che la prima biglia estratta dall’urna A sia bianca?

Come andrebbe svolto?

Il primo punto l'ho impostato creando due casi, cioè il primo in cui vengono estratte 2 bianche dalla urna A e 1 qualsiasi dalla B, e il secondo caso in cui vengono estratte 1 Bianca e 1 Nera dalla A e 1 Bianca dalla B.
Ho sommato le probabilità dei due casi per trovare la probabilità del primo punto.
1 Caso: $ 4/10 * 3/10 * 1 = 2/15 $
2 Caso: $ ( ((4),(1)) * ((6),(1)) )/((10),(2)) * 1/2 = 4/15$
Lo chiamerò P(C), $ P(C) = 2/15 + 4/15 $

Nel secondo punto ho usato il teorema di Bayes.
Sia W= {La prima biglia estratta dall'urna A è bianca}
Secondo il teorema, $ P(W|C)= (P(C|W) * P(W))/(P(C) $
P(W) è semplicemente $ 4/10 $
P(C|W) invece l'ho diviso anch'esso in due casi, cioè il primo in cui estraggo 1 Bianca da A e 1 qualsiasi da B, e il secondo caso in cui estraggo 1 Nera da A e 1 Bianca da B.
Mi trovo per entrambi i casi $ 1/3 $, per cui $ P(C|W)= 2/3 $
Sostituisco tutto nel teorema di Bayes e mi trovo $ P(W|C)= 2/3 $

Ho fatto correttamente? Apro questa discussione in quanto sono molto insicuro ed è la prima volta che studio questi argomenti.
Inoltre, se davvero avessi fatto correttamente, come dovrei comportarmi nel caso in cui i casi siano troppi e per cui un metodo del genere sarebbe insostenibile?
Grazie mille in anticipo!

[ghira]

1 Caso: $ (4/10) * (3/10) * 1 = 1/15 $

??

Tanto per cominciare, $3/9$. E $1/15$ come lo ottieni? $12/100$ non è $1/15$ e nemmeno $12/90$ è $1/15$.

[ghira]

2 Caso: $ ( ((4),(1)) * ((6),(1)) )/((10),(2)) = 8/15$

$4/10 * 6/9 * 2 * 1/2 = 24/90 = 12/45 = 4/15$.

[Ciruzzo001]

??

Tanto per cominciare, $3/9$. E $1/15$ come lo ottieni? $12/100$ non è $1/15$ e nemmeno $12/90$ è $1/15$.

Si, hai ragione, ho modificato il messaggio, ho sia sbagliato a scrivere il denominatore nel mio messaggio, sia sbagliata la moltiplicazione in sé... il $3/10$ infatti è un $3/9$ mentre il risultato dovrebbe essere $ 2/15 $.
Scusami.

$4/10 * 6/9 * 2 * 1/2 = 24/90 = 12/45 = 4/15$.

Si hai ragione, ho dimenticato di moltiplicare per la probabilità della biglia bianca nell'urna B.
Infatti il risultato precendente per $ 1/2 $ risulta essere uguale al tuo risultato.

A parte le mie sviste (scusa ancora ahah), sapresti dirmi se per il resto il procedimento è giusto?
Inoltre si potrebbe fare senza usare i "casi"?

[gugo82]

Salve, sto svolgendo questo esercizio:
Date due urne A e B, si supponga che l’urna A sia composta da 4 biglie bianche e 6 nere mentre l’urna B ne contenga 5 bianche e 5 nere. Si estraggono a caso (senza reinserimento) due biglie dall’urna A e una dall’urna B.
(i) Calcolare la probabilità che la maggioranza delle biglie estratte siano bianche;
(ii) Sapendo che la maggioranza delle biglie estratte sono bianche, qual è la probabilità che la prima biglia estratta dall’urna A sia bianca?

Come andrebbe svolto?

Dico la mia, senza alcuna pretesa di esaustività.

Si tratta di un esperimento di due prove:

1. la prima è un'estrazione ripetuta senza reimmissione,
   
   
2. la seconda un'estrazione semplice.

I possibili risultati delle estrazioni sono due, $B$ ed $N$ (con ovvio significato dei simboli), quindi i due spazi campione sono:

1. $S_1=\{ (B,B), (B,N), (N,B), (N,N)\}$
   
   
2. $S_2 = \{ B,N\}$.

Le distribuzioni di probabilità discrete si calcolano in maniera semplice per la seconda estrazione, mentre per la prima bisogna tenere presente che la probabilità dipende dal numero di biglie rimaste nell'urna:

1. $\{(P_1(B,B) = 4/10*3/9 = 2/15), (P_1(B,N) = 4/10 * 6/9=4/15), (P_1(N,B) = 6/10 * 4/9 =4/15), (P_1(N,N) = 6/10 * 5/9 = 1/3):}$
   
   
2. $\{(P_2(B) = 5/10 = 1/2), (P_2(N) = 5/10 = 1/2):}$

Lo spazio campione del tuo esperimento è allora $S=S_1 xx S_2$, ossia lo spazio di tutte le possibili terne ordinate di simboli $B$ ed $N$ e la distribuzione discreta di probabilità si calcola tenendo presente che l'indipendenza delle prove implica:

$P(x,y,z) = P_1(x,y) * P_2(z)$;

dunque:

$\{ (P(B,B,B) = 1/15), (P(B,B,N) = 1/15), (P(B,N,B) = 2/15), (P(B,N,N) = 2/15), (P(N,B,B) = 2/15), (P(N,B,N) = 2/15), (P(N,N,B) = 1/6), (P(N,N,N) = 1/6):}$.

Con queste informazioni puoi gestire tutti i problemi possibili riguardo questo esperimento semplicemente sommando tutte le probabilità elementari.

Ad esempio, l'evento i è:

$E_1 = \{text(la maggior parte delle biglie estratte è ) B\} = \{ text(si estrae al più una ) N\} = \{(B,B,B), (B,B,N), (B,N,B), (N,B,B)\}$

cosicché:

$P(E_1) = P(B,B,B) + P(B,B,N) + P(B,N,B) + P(N,B,B) = 1/15 + 1/15 + 2/15 + 2/15=6/15 = 2/5$

mentre l'evento ii è $E_2|E_1$ in cui:

$E_2 = \{text(la prima biglia estratta è ) B\} = \{ (B,B,B), (B,B,N), (B,N,B), (B,N,N)\}$

cosicché, per definizione, hai:

$P(E_2 | E_1) = (P(E_2 nn E_1))/(P(E_1)) = (P(B,B,B) + P(B,B,N) + P(B,N,B))/(2/5) = 5/2 (1/15 + 1/15 + 2/15) = 2/3$.

[Ciruzzo001]

(1/15 + 1/15 + 2/15) = 2/3$.

Grazie mille per la risposta.
Comunque, in base alle due correzioni che ho scritto nei due messaggi precedenti infatti il primo punto risulta essere $ 6/15 $, mentre il secondo punto risulta essere $ 2/3 $, quindi i risultati combaciano usando entrambi i metodi. Modificherò anche il messaggio principale per evitare confusioni.

[gugo82]

@ Ciruzzo001: Prego.
Non ho controllato la corrispondenza del risultato perché non era tanto la correttezza del calcolo che mi interessava, quanto l'idea di illustrarti un metodo che prescindesse dalle solite formule coi coefficienti binomiali (perché non me le ricordo mai!) e si basasse su un ragionamento molto di base.