Esercizio dado, urna e variabile aleatoria

[ghira]

(Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p).

E non, per esempio, $3, 3p$.

[ghira]

Quindi qui posso praticamente rifare la probabilità totale? Se mi poni il problema in questi termini allora deduco che $1/2$ sia la probabilità che la pallina rimasta sia bianca o nera

Siamo sicuri?

[SysteMachine]

(Suggerimento: usare la binomiale di
parametri 3, p).

E non, per esempio, $3, 3p$.

Questo suggerimento l'ha lasciato il professore. Essendo una binomiale di parametro (3, p) credo che la probabilità di un evento singolo sia p inteso come specifica faccia del dado. Nel senso che la probabilità che esca specificatamente 1 è $p$, equiprobabile a 2 e 3. 4, invece, è la mia q, cioè $1-3p.$ (?)

Io ho fatto questo ragionamento, magari è sbagliato:
$ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 $
$ P(1) + P(2) + P(3) = 3p $
$ P(4) = 1 - P(1) + P(2) + P(3) $

Proprio per questo ragionamento credo di aver impostato bene le probabilità singole, magari mi sto sbagliando.

Poniamo che tu abbia ragione, e che $P(1) + P(2) + P(3) = p$
Se dovessi valutare la probabilità singola di una faccia, $P(1) = P(2) = P(3) = p/3$ è l'unica alternativa che mi viene in mente, considerando che è una binomiale e stiamo riassumendo tutto in biglia bianca $= p$ e biglia nera $= 1-p$.

Quindi qui posso praticamente rifare la probabilità totale? Se mi poni il problema in questi termini allora deduco che $ 1/2 $ sia la probabilità che la pallina rimasta sia bianca o nera

Siamo sicuri?

No, con gli esercizi di questo tipo sono una chiavica, e non ho per nulla chiaro come impostare problemi del tipo probabilità condizionata o Bayes (ammesso che sia uno di questo tipo).

[ghira]

Questo suggerimento l'ha lasciato il professore. Essendo una binomiale di parametro (3, p) credo che la probabilità di un evento singolo sia p inteso come specifica faccia del dado. Nel senso che la probabilità che esca specificatamente 1 è $p$, equiprobabile a 2 e 3. 4, invece, è la mia q, cioè $1-3p.$ (?)

Ma nella binomiale ci sono solo due possibilità. Qui, bianco e nero. non-4 e 4. Se il professore ha scritto "$3,p$" e non "$3, 3p$" credo che sia per dirti che la probabilità di una pallina bianca sia $p$.

[SysteMachine]

Questo suggerimento l'ha lasciato il professore. Essendo una binomiale di parametro (3, p) credo che la probabilità di un evento singolo sia p inteso come specifica faccia del dado. Nel senso che la probabilità che esca specificatamente 1 è $p$, equiprobabile a 2 e 3. 4, invece, è la mia q, cioè $1-3p.$ (?)

Ma nella binomiale ci sono solo due possibilità. Qui, bianco e nero. non-4 e 4. Se il professore ha scritto "$3,p$" e non "$3, 3p$" credo che sia per dirti che la probabilità di una pallina bianca sia $p$.

Ok, effettivamente credo sia così, ho inteso male la traccia, mi basta solamente ricalcolare tutto, ma almeno i procedimenti di a) e b) sono corretti.

Invece per quanto riguarda il punto c) non so proprio come fare questi esercizi.

[ghira]

Ok, effettivamente credo sia così, ho inteso male la traccia

Secondo me la cosa non è chiara. L'indizio più tardi sembra aiutare però.

[ghira]

Invece per quanto riguarda il punto c) non so proprio come fare questi esercizi.

Dato che hai estratto 1B1N, quali sono le probabilità di 0,1,2,3 bianche inizialmente?

Mi sembra una cosa da Bayes.

Chiaramente le probabilità di 0 e 3 sono 0.

Adesso, che probabilità c'è che la terza palla sia nera?

[SysteMachine]

Invece per quanto riguarda il punto c) non so proprio come fare questi esercizi.

Dato che hai estratto 1B1N, quali sono le probabilità di 0,1,2,3 bianche inizialmente?

Mi sembra una cosa da Bayes.

Chiaramente le probabilità di 0 e 3 sono 0.

Adesso, che probabilità c'è che la terza palla sia nera?

Io ora faccio un po' di confusione con l'applicazione di questo teorema, quindi perdonami se dico stupidaggini ma sono qui soprattutto per imparare.
La probabilità di aver estratto 0 bianche o 3 bianche è 0, dato che ho per forza almeno una bianca e almeno una nera. Quindi siamo nel caso in cui ho inserito nell'urna o 2 bianche e 1 nera o 2 nere e 1 bianca.

Quindi indichiamo con $P(A)$ la probabilità che la pallina rimasta sia nera e $P(B)$ la probabilità di aver estratto una pallina bianca e una nera. Quindi, vedendo la formula di Bayes, cioè $P(A|B) = (P(B|A) * P(A))/(P(B))$ io identifico come $P(B|A) = P(2B1N uu 1B2N|N)$, dove con $N$ indico che la pallina rimasta sia nera. In generale, è la probabilità di aver estratto 1 bianca e 1 nera sapendo che la pallina rimasta sia nera (e se ho capito bene, $P(B|A)$ è letteralmente $1*P(1B2N)$).
A questa ci moltiplico $P(A)$, cioè la probabilità che se estraggo 2 palline, quella rimasta è nera, quindi la probabilità totale (3 nere, 2 nere 1 bianca, 1 nera e 2 bianche) e divido per $P(B)$, cioè la probabilità di estrarre 1 bianca e 1 nera, quindi la probabilità di aver inserito nell'urna o 2 bianche e 1 nera o 2 nere e 1 bianca, giusto?

[SysteMachine]

Ok, effettivamente credo sia così, ho inteso male la traccia

Secondo me la cosa non è chiara. L'indizio più tardi sembra aiutare però.

Dato il parametro p della binomiale affermiamo che le probabilità siano rispettivamente p e 1-p, per pace dei sensi

[ghira]

Non sono particolarmente convinto. Hai provato a scrivere una simulazione per vedere cosa succede? Rileggo meglio più tardi, ma secondo me stai applicando Bayes alle cose sbagliate. Potrei sbagliarmi.