da Enzo » 26/01/2009, 04:56
SEDUTE CIRCOLARI DI M maschi e F femmine
GENERALIZZAZIONE (sempre con Angela fra F e Beatrice fra M) e con Umby che sbuffa!
NOTA: Due sedute si considerano distinte solo se è diverso l'ordine relativo della sequenza,
cioè l'ordine con cui si succedono i soggetti seduti partendo, diciamo, da Angela e procedendo
in senso antiorario.
Quindi nel caso specifico M = F+1 = 5, il fattore 9 di Ada va soppresso e il suo numero 8640 diventa 960.
Inoltre, come si vedrà fra breve, anche Nycos aveva visto giusto,
perchè il numero delle sedute si riduce di un fattore 5, almeno nel caso M = F + 1 = 5.
Ricordo che la soluzione generale fornita da Umby per una seduta lineare con M maschi e F femmine
con i ben noti vincoli richiesti da Angela e Beatrice era
$NN(M,F)=M(M-1)(F-2)(F-3)(M+F-4)!$
Ovviamente, anche nel caso circolare valgono gli stessi limiti inferiori per numero di maschi (M>1) e numero di femmine (F>3).
SOLUZIONE
Angela si siede in uno qualsiasi degli M+F posti, ma, per quanto detto, questo conta per 1, non per M+F modi.
2 delle F-2 femmine (Beatrice esclusa) vanno a sedersi ai suoi lati: (F-2)(F-3) modi possibili
Beatrice va a sedersi in uno degli M+F-3 posti rimasti liberi, tranne i 2 posti accanto alle ancelle di Angela: (M+F-5) scelte
2 degli M maschi vanno a sedersi ai lati di Beatrice: M(M-1) modi possibili
Restano ora in piedi M-2 maschi e F-4 femmine, e, a questo punto, comunque si siedano, ci sta bene: (M+F-6)! modi
Mettendo insieme tutte le suddette molteplicità si ha la formula generale
$NN(M,F)=M(M-1)(F-2)(F-3)(M+F-5)!$
che differisce dalla formula lineare per un fattore M+F-4 in meno (5 nel caso specifico).
Controlliamo la formula nel caso specifico M=5, F=4.
$NN(5,4) = 5xx4xx2xx1xx4! = 8xx5! = 960$ ______ QED
Si noti che 960 è un quinto di 4800, che era il corrispondente numero di sedute lineari.
Nycos87 si prende così la sua rivincita!