permutazioni

[Nicos87]

quello dei colori (usando quella specie di ragionamento: forse ne hai 7 di base, a cui aggiungi 7 presi a 2 a 2 e vedi quanti ne vengono, poi 7 mischiati a 3 a 3 e così fino ad aggiungere 7 presi a 7 a 7) che mi viene 127 è corretto?

[adaBTTLS]

per quanto riguarda i libri, la soluzione esatta è quella di Davimal,
quella del lucchetto, è corretta (quella data da seascoli). provo a proportene una alternativa, anche se più "pedestre":
se la prima cifra è 0, la somma delle altre due deve essere 10, ed i casi possibili sono 9
se la prima cifra è 1, la somma delle altre due deve essere 9, ed i casi possibili sono 10
se la prima cifra è 2, la somma delle altre due deve essere 8, ed i casi possibili sono 9
...
se la prima cifra è 9, la somma delle altre due deve essere 1, ed i casi possibili sono 2

dunque si ha una progressione aritmetica (2+3+4+5+6+7+8+9+10) + un altro caso (9)
in totale $(2+10)/2*9+9=54+9=63$

rifletti sui due metodi di risoluzione. intanto aspetto anche la risposta al secondo quesito, che, tra parentesi, io considero una banalità, mentre in base a come viene scritto il risultato sul libro sembrerebbe molto più complicato. non so se vi ho dato un indizio ...

ciao.

[adaBTTLS]

ho visto solo ora la soluzione del secondo: è corretta ed il metodo sembrerebbe conforme a quello del libro.
ti chiedo di commentare la soluzione alternativa: $2^7-1=128-1=127$.
ciao.

[Nicos87]

Okay,il lucchetto visto da te l'ho capito, quello di seascoli con la formula no. e nemmeno 2^7-1. sto andando a pranzo ma ci penso e poi scrivo cosa ho pensato. grazie!!

[adaBTTLS]

prego!

[seascoli]

Nicos87 ha scritto:
Okay questo delle materie l'ho capito. Quello del lucchetto invece no. L'approccio l'ho capito, ma non capisco perchè la formula è quella che è( assumendo che sia così)cioè: 12 presi a 2 a 2
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Ammettiamo che devi spezzare il numero 10 in tre addendi interi (che possono anche essere nulli, ma non tutti e tre!)
Per esempio: 10=3+2+5 oppure 10=4+4+2 oppure 10= 3+0+7 etc....
Allora per contare i modi, dato che sono 3 i pezzi, prendi 3 simboli diversi, per es. A, B e C (che però valgono tutti 1)
Se ne metti in fila 10, prima però tutti gli A, poi tutti i B, poi tutti i C, per esempio: AAABBCCCCC, allora otterrai un modo per fare la somma 10 con 3 addendi (la somma dei 3 A é 3, la somma dei 2 B è 2, etc.).
Il bello è che, se ci rifletti, così si ottengono tutti e soli i modi per avere la data somma s.
Per esempio, quando uno dei tre segni manca del tutto (es.: AAAACCCCCC) hai la soluzione 10=4+0+6.
Quindi i modi per spezzare l'intero s in N pezzi sono nient'altro che le combinazioni con ripetizione
di N oggetti distinti (ma tutti del valore 1) presi a s a s.
Per fortuna, per le combinazioni con ripetizione c'è una formula standard bell'e pronta:
$C^{(r)}(N,s)=((N+s-1),(s))$
Nel nostro caso N=3, s=10, ergo si ha: $((3+10-1),(10))=((12),(10))=((12),(2))=66$
Chiaro?
Se poi vuoi la spiegazione anche della formula delle combinazioni con ripetizione,
beh! allora posso darti anche quella (é carina). Ma te la dò solo se me la chiedi.

[seascoli]

Hint per Nycos87 sul problema dei colori.
$((7),(7))+((7),(6))+((7),(5))+ ... ((7),(2))+((7),(1))=2^7-((7),(0))$.

[Nicos87]

no, vabbè, è fantastico sto fatto dei pezzettoni da uno ripresi! ... ma ero disastrosamente fuori strada... grazie della spiegazione per la dimostrazione della formula per le ripetizioni la prendo così com'è, ho bisogno di un sapere molto pratico (benchè limitato) di questa materia

per i colori: ah! ma allora usa lo stesso trucco dei 7 presi a 7 a7, poi a 6 a 6 e così via.. solo che non sapevo che sommandoli spuntasse un 2
mi veniva 1 + 7 + 7*6 + 7*5*2 + 7 ...

[adaBTTLS]

$2^7$ è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di 7 elementi. ricordi al primo liceo la cardinalità dell'insieme delle parti?
$2^7$ sono tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme dei sette colori, compreso l'insieme vuoto. $2^7-1$ sono dunque i sottoinsiemi non vuoti. OK?

[Nicos87]

la cardina.. che? soppravvaluti il liceo, o per lo meno la matematica di un linguistico.. ehehe.. no, non ho idea di cosa sia questa cardinalità, ma cercherò su wikipedia... ma quindi, in parole povere, se io ho n cose, per sapere in quanti modi le posso raggruppare faccio 2^n -1 (-1 così tolgo la possibilità "non raggruppo niente") ?