Un problema di probabilità

[Asimov]

Ciao a tutti!
Vi scrivo perchè ho profondi dubbi su come calcolare 2 probabilità... probabilmente per voi è elementare.

Ecco il problema (sintetico):

Abbiamo una sala giochi, dotata di N macchine, aperta per G giorni al mese, e per H ore al giorno. La frequentano R ragazzi che vanno alla sala giochi in giorni e ore del tutto casuali alla media di V volte al mese. Se trovano una macchina libera giocano in media per T minuti, se le macchine sono tutte occupate se ne vanno senza aspettare.
Ricapitolando abbiamo questi dati:
N = numero di macchine
G = giorni al mese in cui è aperta la sala giochi
H = ore al giorno in cui è aperta la sala giochi
V = numero di volte medio con cui un ragazzo va alla sala giochi
T = tempo medio di gioco ad una macchina
R = numero dei ragazzi

Devo trovare:
-la probabilità "a dt" che un ragazzo entri nella sala giochi in un intervallo infinitesimo (prima che si accorga di trovare o meno una macchina libera cmq)
-la probabilità "b dt" che una macchina si liberi in un intervallo infinitesimo

(intervallo di tempo infinitesimo = [t; t+dt]

Grazie mille per ogni aiuto!

[WonderP]

Ho qualche problema con l’intervallo infinitesimo, ti spiego subito il perché provando a risolvere il punto a.
Chiedi la probabilità che un ragazzo entri nella sala giochi in un intervallo infinitesimo. Facciamo finta che il problema chieda:
la probabilità che un ragazzo entri nella sala giochi in un intervallo di tempo T.
La sala giochi è aperta G*H ore al mese. Le entrate in un mese sono date da R*V, quindi mediamente in un ora ci sono R*V/(G*H) entrate. Quindi entra un ragazzo ogni G*H /(R*V) ore. Qui nasce il problema, ammettiamo che il risultato sia che c’è un entrata ogni minuto e l’intervallo T sia un secondo, allora potrei affermare che c’è 1 possibilità su 60 (dato da 1 minuto diviso T, più in generale [G*H /(R*V)] /T), ma se il tempo è infinitesimo come posso fare un’affermazione simile? Forse ho capito male il problema, altrimenti il risultato tende a 0. Aspetto chiarimenti per proseguire…

[Asimov]

Wonder purtroppo i tuoi sono anche i miei dubbi... anche io avevo supposto quella formula e anche io avevo dubbi riguardo all'intervallo infinitesimo....
però penso che non essendoci altri dati... a dev'essere per forza quella... la sua unità di misura infatti è VOLTE/ORE ... quindi se la moltiplichiamo per un'ora o mezz'ora (un qualsiasi "delta t") dà infatti un numero puro di volte...
mah

Grazie cmq della veloce risposta !!!

[Asimov]

Nessuno ha qualche idea per b?

[WonderP]

Oltre al solito problema del tempo infinitesimo che non so come trattare, mi mancano alcune cose. Imporrei che quando un ragazzo entra gioca ad una sola macchina e poi esce (infatti non ho dati su quante macchine usi per ogni entrata). Le ore giocate in un mese sono V*T*R, le ore macchina disponibili al mese sono G*H*N. Se le ore disponibili sono minori di quelle giocate ho qualche problema, nel senso che le macchine non dovrebbero mai essere libere, ma a questo punto subentra la probabilità che un ragazzo entri proprio quando una macchina si libera. Nel caso le ore disponibili fossero maggiori,direi che la probabilità di trovare una macchina libera è 1-(V*T*R)/(G*H*N).
DI più non saprei dire, ma questa non ha proprio l'aria di essere una risposta esauriente...

[Asimov]

Il problema è che non devo trovare la probabilità che una macchina sia libera ma che "SI LIBERI" ovvero che proprio in quell'istante il ragazzo vada via dalla macchina...
Io avevo un po' immaginato così (però temo che non stia in piedi):
sappiamo che un ragazzo gioca in media T minuti, supponendo che una macchina sia sempre occupata (e qui è il baco...) da un nuovo ragazzo appena quello vecchio se ne va, in media "si libera" 60minuti/T(in minuti) volte all'ora...
per cui avrei per il totale di macchine 60/T*N volte all'ora in cui si libera una macchina...

il problema è di nuovo quello di prima: abbiamo un evento che si verifica un tot di volte in un intervallo finito ... ma per trovare la probabilità in quello infinitesimo non so bene come fare... io sarei tentato di fare come per a... immaginare il dt come un "delta t" quindi lasciare 60/T*N all'ora...

[WonderP]

Per togliere il baco invece di considerare 60 minuti si potrebbero considerare i minuti occupati in un ora, cioè dividendo le ore giocate per le ore disponibili, quindi
(V*T*R)/(G*H*N)
c’è il solito problema, però, quando questa frazione è maggiore di 1 (ma secondo me non dovrebbe accadere)
quindi il risultato potrebbe essere
(V*R)/(G*H*N^2)

[Asimov]

Grazie Wonder della preziosa colloborazione. Quando sarò in possesso di altre notizie le scriverò <img src=icon_smile.gif border=0 align=middle>