Probabilità di successo della martingala

Messaggioda marcodeponte » 02/04/2013, 10:27

Salve a tutti

Ho da tempo la voglia di dimostrare matematicamente ad un mio amico che a lungo andare la probabilità di perdere utilizzando il metodo della martingala nella roulette non è poi così bassa. (Si punta sul rosso o nero e si raddoppia la puntata ogni volta che si perde)
Ho messo a punto un simulatore che generando una sequenza casuale di 0 e 1 simula una partita in cui si imposta il budget iniziale, la puntata iniziale e la somma finale a cui si vuole arrivare: fancendo diverse prove si vede chiaramente che quando la somma finale impostata diventa maggiore del doppio del budget (quindi un raddoppio del budget) il numero di volte in cui si perde diventa maggiore del numero di volte in cui si vince.

A questo punto vorrei arrivare ad una formulazione matematica della probabilità che partendo da una somma x, con puntata iniziale y, io possa arrivare alla somma z senza perdere prima tutto il capitale. Purtroppo non credo di avere le conoscenze necessarie per risolvere il problema.

Chi saprebbe aiutarmi? Grazie :-)
marcodeponte
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 4
Iscritto il: 02/04/2013, 10:08

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda Zero87 » 02/04/2013, 10:38

viewtopic.php?f=34&t=37565

Di martingale non so quasi nulla ma mi è venuta in mente subito questa discussione nella quale si parla a lungo del fatto che affidandosi alle martingale ci si rimette (anche se me la ricordavo più per le polemiche che altro).
:smt039

EDIT
Vedendo che è il tuo primo messaggio, benvenuto al forum e buona permanenza. :smt039
#ilfuturononcrolla
Ex studente Unicam :heart:
Avatar utente
Zero87
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1691 di 5600
Iscritto il: 12/01/2008, 23:05
Località: Marche

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda kobeilprofeta » 03/04/2013, 08:44

Ciao e intanto benvenuto nel forum. 

Tu gli devi dimostrare che a lungo andare ci perdi.
Iniziamo a vedere il problema sotto questo punto di vista: all'n-esima puntata io scommetto $2^(n-1)$€ sull'uscita del rosso (evento con probabilità pari ad $1/2$) e se esce il rosso il mio capitale aumenta dell'importo scommesso, viceversa diminuisce.
Teoricamente ad ogni vincita sono sicuro di recuperare tutte le perdite precedenti; infatti se vinco all n-esima giocata vinco $2^(n-1)$€ che è maggiore di $2^0+2^1+...+2^(n-2)$€... esempio se $n=5$, cioè quinta giocata, io vinco $2^4=16$€ che è maggiore di $1+2+4+8=15$€: inoltre nota bene che indipendentemente dal valore di $n$, io sono sicuro di guadagnare 1€ rispetto al capitale iniziale quando vimco (controlla pure tu se non ti fidi)...ma allora qual è il problema?

Il problema sta nel fatto che noi non possediamo infiniti soldi e che, di conseguenza, abbiamo un limite (alto quanto vuoi, ma il limite c'è).

Se hai il concetto di valore atteso puoi seguire questo esempio:
Considera un giocatore che possiede 31€ come capitale iniziale (è indicativo, puoi mettere anche 10^237€). Decide di partire da 1€ e di raddoppiare se perde fino a quando non vincerà: appena vince si tiene i soldi vinti. Come ti ho già detto, se vince guadagna 1€ rispetto al capitale totale (31+1=32€).
Quindi a fine del gioco (dopo $n=5$ giocate, perchè poi finisce i soldi) il giocatore avrà 32€ o 0€. Ovviamente avrà 0€ solo nel caso in cui perda tutte e 5 le giocate ($P_a=(1/2)^5$), mentre avrà 32€ con probabilità $P=1-P_a=1-(1/2)^5$. Se chiamo $X$ i soldi che ha il giocatore alla fine, posso calcolare il valore atteso di soldi:
$E(X)= (1/2)^5*0 + (1-(1/2)^5)*32)= 31€$
Ne consegue che l'attesa è di finire il tutto con gli stessi soldi che aveva in partenza, ovvio poi non è detto che sarà così: ma potrebbe guadagnarci come perderci.

Ps: anche se non conosci il valore atteso è facile: prendi i soldi che puoi vincere e li moltiplichi per la probabilità che hai di vincerli, poi li sommi con gli altri per la loro probabilità ecc...
kobeilprofeta
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 242 di 2637
Iscritto il: 24/09/2012, 18:25

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda Umby » 03/04/2013, 09:29

Zero87 ha scritto:http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=34&t=37565

Di martingale non so quasi nulla ma mi è venuta in mente subito questa discussione nella quale si parla a lungo del fatto che affidandosi alle martingale ci si rimette (anche se me la ricordavo più per le polemiche che altro).
:smt039



Ricordo quel topic... ma poi non si è mai saputo chi fosse quel seascoli ? :?:
Umby
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1431 di 1635
Iscritto il: 01/11/2008, 16:50
Località: Napoli

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda Zero87 » 03/04/2013, 14:08

Umby ha scritto:Ricordo quel topic... ma poi non si è mai saputo chi fosse quel seascoli ? :?:

Non ne ho idea... Ho seguito quel thread come spettatore anche perché non ci capivo (non che ora sia meglio) granché di probabilità e martingale.
:smt039
#ilfuturononcrolla
Ex studente Unicam :heart:
Avatar utente
Zero87
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 1707 di 5600
Iscritto il: 12/01/2008, 23:05
Località: Marche

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda marcodeponte » 04/04/2013, 18:01

Grazie kobeilprofeta per la risposta.
Diciamo che quello che hai scritto mi è piuttosto chiaro, ma io cercavo in qualche modo di andare oltre.
Quello che vorrei fare è calcolare nel caso reale la probabilità di partire da una cifra fissata (ad esempio 100€) ed utilizzando il metodo della martinagala (partendo da 1€) arrivare a un'altra cifra fissata (300€).

A livello "sperimentale" noto che quando cerco di raddoppiare la somma iniziale la probabilità di vincere (ricavata simulando n cicli di gioco) tende al 50% e quindi la giocata equivale a scommettere tutto su un unico lancio. Quello che mi interessa particolarmente è vedere cosa succede quando ci si sposta dal 50%, ad esempio quando avendo a disposizione 100€ voglio arrivare a 150€. Come posso calcolare la probabilità in questo caso?
marcodeponte
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 4
Iscritto il: 02/04/2013, 10:08

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda kobeilprofeta » 04/04/2013, 19:34

Ascolta. Non sono sicuro di aver capito ma ci provo...ti farò sapere
kobeilprofeta
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 246 di 2637
Iscritto il: 24/09/2012, 18:25

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda DajeForte » 06/04/2013, 19:19

Il problema è interessante e penso che ci sia anche un pò di letteratura al riguardo.

Io avevo pensato ad una cosa del tipo $P( bigcap_{n=1}^N T_n < a_n)$ dove i $T_n$ sono i lanci tra il successo n-1esimo e l'ennesimo. Questo perchè, subito dopo una vincita, tu hai un certo numero di sconfitte consecutive che puoi sopportare. Bisognerebbe poi fare alcune precisazioni, del tipo cisa succede quando rimani con un pò di soldi ma non sufficienti a pagare la prossima scommessa. La tua simulazione che fa? In che linguaggio la scrivi? Condividi il codice...?

Ciao
DajeForte
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1267 di 1461
Iscritto il: 27/05/2010, 01:12

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda marcodeponte » 07/04/2013, 09:48

Allora io avevo fatto una simulazione molto semplice in excel, giusto per avere un'idea. Quando non si poteva più raddoppiare nella simulazione si ripartiva dall'inizio con la scommessa di partenza.
Stavo pensando che potrei scrivere uno script un po' più adatto in matlab o R.
marcodeponte
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 4
Iscritto il: 02/04/2013, 10:08

Re: Probabilità di successo della martingala

Messaggioda Gengis Cohen » 10/04/2013, 10:42

Forse sono un po' in ritardo e magari è stato già detto:
c'è il teorema di arresto opzionale di Doob che fa al caso tuo.

Dice che data una filtrazione \(\displaystyle F_n \), un tempo d'arresto \(\displaystyle \tau \) e un processo \(\displaystyle (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \) adattato alla filtrazione, se questo è una martingala (o supermartingala o submartingala) anche il processo arrestato \(\displaystyle X_{n \wedge \tau} \) è una martingala (o supermartingala o submartingala). In particolare il valore atteso del processo non cambia.

In pratica dice che il tuo guadagno medio giocando con la tecnica della "martingala" è lo stesso che avresti giocando una volta sola (oppure giocando diverse volte solo il primo "passo" della martingala).

Vedi "Williams, Probability with martingales" capitolo 10.
Gengis Cohen
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 24
Iscritto il: 09/04/2013, 21:21

Prossimo

Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: MrEngineer e 18 ospiti