Il problema delle 'scatole di pop corn'...

[lupo grigio]

cari amici
mi sono talmente divertito a cimentarmi nel ‘problema delle coincidenze’ proposto da karl, che ho pensato bene di ricambiare il favore proponendo a mia volta un problema [non nuovo intendiamoci…] nel campo delle probabilità. Si tratta del cosiddetto ‘problema delle scatole di pop corn’.
<img src="http://www.mste.uiuc.edu/reese/cereal/maypo_s.gif" border=0>

Supponiamo che un produttore di cereali in scatola per promuovere il suo prodotto inserisca in ogni confezione di pop corn un premio [tipo una penna colorata, un pupazzetto, una cartolina, etc…] scelto a caso fra 6 [anche qui il numero può essere diverso…]. Se si vuole entrare in possesso di tutti e 6 i premi qual è all’incirca il numero di confezioni che occorrerà acquistare?… [si spera di non dover svuotare il negozio…]

Buon lavoro!…

lupo grigio

<img src="http://utenti.lycos.it/luposabatini/wolf.gif" border=0>

[vecchio]

sicuramente dico una ultra-mega-fesseria...sono per caso 65??

ti prego di scusare la mia ignoranza..ma le probabilità non sono state mai il mio forte...ti chiederai allora perchè ho risposto?...bella domanda...<img src=icon_smile_wink.gif border=0 align=middle>

ciao
il vecchio

[WonderP]

ti dirò: io stavo pensando a 66, ma mi è sorto un dubbio. Se il problema fosse stato con 2 regali quale sarebbe stata la risposta? 3? Ma a posteriori ho pensato: se prendo 3 scatole c'è comunque 1 possibilità su 4 di prendere sempre lo stesso regalo. Qualsiasi numero di scatole prenda ci sara sempre una possibilità (magari molto piccola) di prendere sempre lo stesso regalo. Qui mi sono bloccato.

[vecchio]

mamma mia!!!! adesso mi fai venire troppi dubbi!!! anche perchè se dovessi seguire il porcedimento di prima io comprerei solo 2 scatole!!!!e non mi pare il caso!!! però sono contento di essermi almeno avvicinato al tuo ragionamento!!!<img src=icon_smile_wink.gif border=0 align=middle>
di più però non so che fare...magari compro i biscotti...

ciao
il vecchio

[Jeckyll]

I problemi con le probabilità, nonostante mi abbiano sempre affascinato, non sono proprio il mio forte. Quanto sto per riportare potrebbe dunque essere frutto di un "abbaglio".

Riporto le probabilità di avere tutti e 6 i premi (ed anche 5) ai vari acquisti

10 acquisti: 27.18% 6 premi; 50.64% 5 premi
13 acquisti: 51.39% 6 premi; 41.39% 5 premi
18 acquisti: 78.47% 6 premi; 20.53% 5 premi
23 acquisti: 91.08% 6 premi; 8.79% 5 premi
27 acquisti: 95.66% 6 premi; 4.31% 5 premi
36 acquisti: 99.15% 6 premi; 0.85% 5 premi

Non ci metto le mani sul fuoco!

Cordiali Saluti,
Marcello

[Jeckyll]

lupo grigio,

ti sei scordato di noi? Sono curioso di sapere se c'ho azzeccato oppure no.

Marcello

[lupo grigio]

caro Marcello
stai sicuro che non mi sono scordato del problema da me posto... il fatto è semplicemente che l'ho posto senza conoscere la soluzione che ancora debbo trovare...

A risentirci [spero] presto!...

lupo grigio

<img src="http://utenti.lycos.it/luposabatini/wolf.gif" border=0>

[WonderP]

Jeckyll, perché ti fermi al 99,15%? Qui sta il mio problema, infatti si chiede di entrare in possesso di tutti e sei i regali, quando mi devo fermare? C'è sempre la possibilità (vedi Murphy) di non beccare mai il 6°.

[Jeckyll]

lupo grigio
scusa, pensavo avessi già la soluzione del problema. D'altronde la tua soluzione al problema di karl era così accurata ed esauriente che mi è venuto istintivo pensare che già avessi la soluzione di quest'altro problema. A tutto ciò si aggiunge il fatto che non sono per nulla sicuro del ragionamento che ho seguito (a giochi fatti possiamo discuterne) ed ero curioso di confrontare i miei risultati con i tuoi.
Sarò più paziente <img src=icon_smile.gif border=0 align=middle>

WonderP,
Il fatto è che, per quanto possa essere improbabile, tutti e sei i regali potrebbero non ottenersi mai anche comprando moltissime scatole. Allora la certezza di avere tutti e 6 i regali va intesa, a mio parere, in senso probabilistico: Che probabilità ho di ottenere tutti e sei i regali comprando n scatole? Teoricamente il 100% non si potrà raggiungere mai, ma praticamente una percentuale del 99% può in buona sostanza ritenersi quasi una "certezza". Ho trovato un algoritmo che calcola tale probabilità (di cui però non garantisco la correttezza) al variare del numero di scatole e ho riportato il numero di scatole che forniscono certi "traguardi" di probabilità: il 50%, il 75%, il 90% il 95% ed il 99%

Marcello

[WonderP]

Il mio ragionamento è stato diverso (e penso simile a quello di vecchio): [(5/6+4/6+3/6+2/6+1/6)^-1] + 1
Cioè alla prima scatola sono sicuro di trovare un regalo che mi manca (il +1), alla seconda ho 5/6 di trovare un regalo che mi manca, poi 4/6 e così via risultato 65,5, quindi 66 scatole. Tale ragionamento mi convince veramente poco è lo stesso discorso di chi nel lotto scommette sui ritardatari, se un numero non esce da 200 estrazioni ha la stessa possibilità di uscire di un numero appena estratto.

Modifica
ho sbagliato a scrivere [(5/6+4/6+3/6+2/6+1/6)^-1] + 1
in realtaà è [(5/6*4/6*3/6*2/6*1/6)^-1] + 1


Modificato da - WonderP il 29/01/2004 17:56:45