da lupo grigio » 13/02/2004, 16:23
cari amici
facciamo ancora un passetto avanti nella suzione del problema e determiniamo questa volta le combinazioni di k numeri <i>strettamente positivi</i> [ossia ni>0 per i=1,2,…,k] in modo che sia…
n1+n2+… nk=n (1)
Indichiamo con s(k,n) il numero di queste combinazioni. Per calcolare s(k,n) introduciamo una nuova funzione generatrice che chiameremo Hk(x) e il cui sviluppo è dato da…
Hk(x)= x^k * (1-x)^-k = (x+x^2+...+x^i+…)^k= s(k,k)*x^k+s(k,k+1)*x^k+1+…+s(k,n)*x^n+… (2)
Non è difficle vedere che anche in questo caso, come nel precedente è…
s(k,n)= 1/n! * d^n/dx^n Hk(x) per x=0 (2)
Per il calcolo della derivata si utilizza la formula generale che da la derivata del prodotto di due funzioni u(x) e v(x)…
d^n/dx^n (u*v)= <img src=icon_smile_8ball.gif border=0 align=middle> [i=0,n] (n,i) d^i/dx^i u * d^(n-i)/dx^(n-i) v (3)
… in cui con (n,i) si intendono i ‘coefficienti binomiali’ dati da (n,i)= n!/i!*(n-i)!
Ponendo u(x)= x^k e v(x)= (1-x)^-k si ottiene…
d^i/dx^i x^k = k*(k-1)*…(k-i+1)*x^(k-i)
d^i/dx^i (1-x)^-k = k*(k+1)*…*(k+i-1)*(1-x)^-(k+i) (4)
Siccome siamo interessati alle derivate di Hk(x) per x=0 è interessante rilevare che tutte le derivate della u(x) si annul,ano per x=0, ad eccezione della derivata di ordine k che vale k!. Per questo possiamo scrivere…
d^/dx^n Hk(x) per x=0 = (n,k)*k!*d^(n-k)/dx^(n-k) (1-x)^-k = n!*(n-1)*(n-2)*…*(k+1)*k/(n-k)!=
= n!*(n-1)!/(k-1)!*(n-k)! (5)
Il risultato cercato sarà dunque…
s(k,n) = (n-1)!/(n-k)!*(k-1)! (6)
Alcuni esempi. Per k=3, n=4 s(3,4)= 3!/2!=3 , qui sotto riportati…
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
Per k=3, n=5 s(3,5)= 4!/2!*2!=3*2=6 , qui sotto riportati…
(3,1,1) (1,3,1) (1,1,3)
(2,2,1) (2,1,2) (1,2,2)
Per k=6, n=8 s(6,8)= 7!/2!*5!= 7*3=21, qui sotto riportati…
(3,1,1,1,1,1) (1,3,1,1,1,1) (1,1,3,1,1,1)
(1,1,1,3,1,1) (1,1,1,1,3,1) (1,1,1,1,1,3)
(2,2,1,1,1,1) (2,1,2,1,1,1) (2,1,1,2,1,1)
(2,1,1,1,2,1) (2,1,1,1,1,2) (1,2,2,1,1,1)
(1,2,1,2,1,1) (1,2,1,1,2,1) (1,2,1,1,1,2)
(1,1,2,2,1,1) (1,1,2,1,2,1) (1,1,2,1,1,2)
(1,1,1,2,2,1) (1,1,1,2,1,2) (1,1,1,1,2,2)
L’utilità di questo risultato per la soluzione finale del problema sarà ben presto evidente…
cordiali saluti a tutti!…
lupo grigio
<img src="http://utenti.lycos.it/luposabatini/wolf.gif" border=0>